Use o Teorema de Green para determinar
, onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular o integral de linha ∬_c P dx + Q dy usando o Teorema de Green, onde P(x,y)=x²−y² e Q(x,y)=2y−x, e c é a fronteira da região no 1º quadrante limitada pelas curvas y=x² e y=x³ (se encontram em x=0 e x=1).
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos que ∬_c P dx + Q dy = ∬_R (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA. Primeiro vamos achar ∂Q/∂x e ∂P/∂y:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais, temos
Logo o integrando fica
Passo 4
Agora expressamos a integral dupla sobre R: x varia de 0 a 1 e y de x³ a x². Assim
Passo 5
Fazendo a integral em y:
Passo 6
Agora integramos em x de 0 a 1:
Passo 7
Somando as frações com denominador comum 420 obtemos