Use o Teorema de Green para determinar integralc(x^2-y^2) d x+(2 y-x) d y, onde c é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y=x^2 e y=x^3.

Passo 1

A questão pede para calcular o integral de linha ∬_c P dx + Q dy usando o Teorema de Green, onde P(x,y)=x²−y² e Q(x,y)=2y−x, e c é a fronteira da região no 1º quadrante limitada pelas curvas y=x² e y=x³ (se encontram em x=0 e x=1).

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos que ∬_c P dx + Q dy = ∬_R (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA. Primeiro vamos achar ∂Q/∂x e ∂P/∂y:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, temos
∂Q/∂x = ∂(2y−x)/∂x = −1,
∂P/∂y = ∂(x²−y²)/∂y = −2y²²
Logo o integrando fica
∂Q/∂x − ∂P/∂y = −1 − (−2y) = 2y − 1

Passo 4

Agora expressamos a integral dupla sobre R: x varia de 0 a 1 e y de x³ a x². Assim
∬R (2y−1),dA = ∫x=0^1 ∫y=x^3^x^2 (2y−1),dy.

Passo 5

Fazendo a integral em y:
∫y=x^3^x^2 (2y−1),dy = [y^2 − y]x^3^x^2 = (x^4 − x^2) − (x^6 − x^3) = −x^6 + x^4 + x^3 − x^2

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
∫0^1 (−x^6 + x^4 + x^3 − x^2),dx = l[ −x^77 + x^55 + x^44 − x^33 r]0^1 = −17 + 15 + 14 − 13

Passo 7

Somando as frações com denominador comum 420 obtemos
−tfrac60420 + tfrac84420 + tfrac105420 − tfrac140420 = −tfrac11420

Resposta

-tfrac11420

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