Derivadas parciais em dimensões maiores:
Seja f uma função diferenciável de ( u, v, w ), e seja g uma função de ( x, y ) definida por g(x, y)=f(x^2-y^2, xy^2, 2 y). Calcule gx e ggamma em termos de fu, fv e f^w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
g(x,y)=fl(u(x,y),,v(x,y),,w(x,y)r)
onde f é diferenciável em (u,v,w).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções auxiliares
u(x,y)=x^2 - y^2, v(x,y)=x,y^2, w(x,y)=2,y

Passo 3

Para gx usamos
gx = fu,ux + fv,vx + fw,wx
Calculamos:
ux = partialpartial x(x^2 - y^2)=2x, vx = partialpartial x(x,y^2)=y^2, wx = partialpartial x(2y)=0
Logo,
gx = fucdot(2x) ;+; fvcdot(y^2) ;+; fwcdot0 = 2x,fu + y^2,fv

Passo 4

Para gy usamos
gy = fu,uy + fv,vy + fw,wy
Calculamos:
uy = partialpartial y(x^2 - y^2)=-2y, vy = partialpartial y(x,y^2)=2x,y, wy = partialpartial y(2y)=2
Logo,
gy = fucdot(-2y) ;+; fvcdot(2x,y) ;+; fwcdot2 = -2y,fu + 2xy,fv + 2,fw

Resposta

gx(x,y)=2x,ful(u,v,wr)+y^2,fvl(u,v,wr),
gy(x,y)=-2y,ful(u,v,wr)+2xy,fvl(u,v,wr)+2,fwl(u,v,wr)

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