Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
alpha(t)=(t, cosh t), com t in[a, b].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
alpha(t)=(t,cosh t) para tin[a,b].
Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curva em R^2:
L=integrala^b|alpha'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de alpha:
alpha'(t)=l(1,sinh tr)
Em seguida, a norma do vetor derivada é
|alpha'(t)|=raiz1+(sinh t)^2=cosh t,
pois cosh^2t-sinh^2t=1 e cosh t>0.

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, temos
L=integrala^bcosh t,dt
Como uma antiderivada de cosh t é sinh t, obtemos
L=sinh tgr|a^b=sinh b - sinh a

Resposta

L = sinh b - sinh a

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