Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
alpha(t)=(r sen t, r cos t), com t in[0,2 pi].

Passo 1

Temos a curva alpha(t)=(rsin t,,rcos t) para tin[0,2pi] e queremos calcular seu comprimento de arco. O conteúdo da matéria é comprimento de arco de curvas paramétricas. A fórmula que vamos usar é
L=integrala^b|alpha'(t)|,dt
Para isso, precisamos primeiro encontrar a derivada da curva e depois sua norma.

Passo 2

Derivando cada componente de alpha(t) em relação a t, obtemos
alpha'(t)=(rcos t,,-rsin t)

Passo 3

Agora calculamos a rapidez, isto é, a norma de alpha'(t):
|alpha'(t)|=raiz(rcos t)^2+(-rsin t)^2 =raizr^2(cos^2t+sin^2t) =raizr^2 =r

Passo 4

Substituindo |alpha'(t)|=r na fórmula do comprimento de arco, temos
L=integral0^2pir,dt =rintegral0^2pidt =rl[tr]0^2pi =2pi r

Resposta

O comprimento do arco da curva é 2pi r.

Exercícios relacionados