Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
$
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2 t+1 ; y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1
$
$
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2 t+1 ; y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1
$
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois procuramos uma particular polinomial compatível com o lado direito.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
com raiz dupla
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a particular, como o termo não homogêneo é
, tentamos
Então
e
Igualando a
obtemos o sistema
Portanto
Passo 4
A solução geral da EDO completa é
Derivando,
Aplicando as condições iniciais em
:
dá
.
dá
e, assim,
.