Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
$
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2 t+1 ; y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=1
$

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''-2y'+y=2t+1, y(0)=0,;y'(0)=1,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois procuramos uma particular polinomial compatível com o lado direito.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-2y'+y=0
O polinômio característico é
r^2-2r+1=(r-1)^2=0
com raiz dupla r=1. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2,t,e^t

Passo 3

Para a particular, como o termo não homogêneo é 2t+1, tentamos
yp(t)=At+B
Então
yp'(t)=A, yp''(t)=0
e
yp''-2yp'+yp=0-2A+(At+B)=A,t+(B-2A)
Igualando a 2t+1 obtemos o sistema
A=2, B-2A=1implies B-4=1implies B=5
Portanto
yp(t)=2t+5

Passo 4

A solução geral da EDO completa é
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e^t+C2,t,e^t+2t+5
Derivando,
y'(t)=C1e^t+C2(e^t+t,e^t)+2 =e^t(C1+C2+C2t)+2
Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1+5=0 C1=-5.
y'(0)=(C1+C2)+2=1 -5+C2+2=1 e, assim, C2=4.

Resposta

y(t)=-5e^t+4t,e^t+2t+5

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