Encontre a área da região delimitada pelos gráficos de f(x)=x^3-10 x e g(x)=6 x.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região delimitada pelas funções f(x) = x^3 - 10x e g(x) = 6x . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integração para calcular a área entre curvas. Precisaremos encontrar os pontos onde essas duas funções se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções f(x) e g(x) . Isso significa resolver a equação f(x) = g(x) :
x^3 - 10x = 6x
Simplificando essa equação:
x^3 - 16x = 0
Podemos fatorar x da equação:
x(x^2 - 16) = 0
Isso nos dá as soluções:
x = 0, x = 4, x = -4
Portanto, os pontos de interseção são x = -4 , x = 0 e x = 4 .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção. Vamos analisar a diferença f(x) - g(x) :
f(x) - g(x) = (x^3 - 10x) - 6x = x^3 - 16x
Vamos testar valores dentro de cada intervalo para ver qual função está no topo.
  • Para x entre -4 e 0:
Escolhemos x = -2 :
f(-2) - g(-2) = (-8) - (-12) = 4 > 0
Então, f(x) > g(x) nesse intervalo.
  • Para x entre 0 e 4:
Escolhemos x = 2 :
f(2) - g(2) = (8) - (12) = -4 < 0
Então, g(x) > f(x) nesse intervalo.

Passo 4

Com essa informação, podemos configurar as integrais para calcular a área entre as curvas em cada intervalo.
  • Primeiro intervalo -4 a 0:
Como f(x) > g(x) , a área é:
A1 = integral-4^0 [f(x) - g(x)] , dx = integral-4^0 (x^3 - 16x) , dx
  • Segundo intervalo 0 a 4:
Como g(x) > f(x) , a área é:
A2 = integral0^4 [g(x) - f(x)] , dx = integral0^4 (16x - x^3) , dx

Passo 5

Vamos calcular as integrais.
  • Calculando A1 :
A1 = integral-4^0 (x^3 - 16x) , dx = [ x^44 - 8x^2 ]-4^0
Avaliar nos limites:
A1 = ( 0^44 - 8 cdot 0^2 ) - ( (-4)^44 - 8 cdot (-4)^2 ) = 0 - ( 2564 - 8 cdot 16 ) = 0 - (64 - 128) = 64
  • Calculando A2 :
A2 = integral0^4 (16x - x^3) , dx = [ 8x^2 - x^44 ]0^4
Avaliar nos limites:
A2 = ( 8 cdot 16 - 2564 ) - ( 8 cdot 0^2 - 0^44 ) = (128 - 64) - 0 = 64

Passo 6

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região delimitada:
A = A1 + A2 = 64 + 64 = 128

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x^3 - 10x e g(x) = 6x é 128 unidades quadradas.

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