Encontre a área da região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região delimitada pelas funções
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integração para calcular a área entre curvas. Precisaremos encontrar os pontos onde essas duas funções se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções
e
. Isso significa resolver a equação
:
Simplificando essa equação:
Podemos fatorar
da equação:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção. Vamos analisar a diferença
:
Vamos testar valores dentro de cada intervalo para ver qual função está no topo.
- Para
entre e :
Escolhemos
:
Então,
nesse intervalo.
- Para
entre e :
Escolhemos
:
Então,
nesse intervalo.
Passo 4
Com essa informação, podemos configurar as integrais para calcular a área entre as curvas em cada intervalo.
- Primeiro intervalo
a :
Como
, a área é:
- Segundo intervalo
a :
Como
, a área é:
Passo 5
Vamos calcular as integrais.
- Calculando
:
Avaliar nos limites:
- Calculando
:
Avaliar nos limites:
Passo 6
Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região delimitada:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das funções
e
é 128 unidades quadradas.