Seja
uma curva regular. Prove que
é constante se, e somente se, para cada
, o vetor
é ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva regular
e pede para mostrar que a velocidade
é constante se, e somente se, o vetor aceleração
é ortogonal à velocidade
. O que vamos usar é a definição de norma via produto interno e a regra da cadeia para derivar esse produto.
Passo 2
Primeiro observe que
Aplicando a derivada em relação a
e usando a bilinearidade do produto interno, temos
Passo 3
Agora, se
é constante em
, então
também é constante. Logo
Isto mostra que
é ortogonal a
para todo
.
Passo 4
Reciprocamente, se
em cada
, então a fórmula do Passo 2 dá
ou seja,
é constante. Daí
é constante também.
Resposta
Concluímos que
é constante se, e somente se,
é ortogonal a
para todo
.