Seja alpha: I longrightarrow R^2 uma curva regular. Prove que |alpha^prime(t)| é constante se, e somente se, para cada t in I, o vetor alpha^prime prime(t) é ortogonal a alpha^prime(t).

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva regular alphacolon ItoR^2 e pede para mostrar que a velocidade |alpha'(t)| é constante se, e somente se, o vetor aceleração alpha''(t) é ortogonal à velocidade alpha'(t). O que vamos usar é a definição de norma via produto interno e a regra da cadeia para derivar esse produto.

Passo 2

Primeiro observe que
|alpha'(t)|^2 ;=;lang<= alpha'(t),,alpha'(t)rang<=
Aplicando a derivada em relação a t e usando a bilinearidade do produto interno, temos
ddt|alpha'(t)|^2 =ddtlang<= alpha'(t),alpha'(t)rang<= =2,lang<= alpha'(t),,alpha''(t)rang<=

Passo 3

Agora, se |alpha'(t)| é constante em I, então |alpha'(t)|^2 também é constante. Logo
ddt|alpha'(t)|^2=0 Longrightarrow 2,lang<= alpha'(t),,alpha''(t)rang<= = 0 Longrightarrow lang<= alpha'(t),,alpha''(t)rang<= = 0
Isto mostra que alpha''(t) é ortogonal a alpha'(t) para todo t.

Passo 4

Reciprocamente, se lang<= alpha'(t),,alpha''(t)rang<==0 em cada t, então a fórmula do Passo 2 dá
ddt|alpha'(t)|^2 =2,lang<= alpha'(t),,alpha''(t)rang<= =0,
ou seja, |alpha'(t)|^2 é constante. Daí |alpha'(t)| é constante também.

Resposta

Concluímos que |alpha'(t)| é constante se, e somente se, alpha''(t) é ortogonal a alpha'(t) para todo tin I.

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