Para um cilindro -1 <= z <= 1, x^2+y^2 <= 1, seja seu tensor de inércia
Ii j=integral tripla(r^2 de<ai j-xi xj) d x d y d z, r^2=xi xi
Calcule I22 e I13.

Passo 1

O enunciado considera um cilindro definido por -1<= z<=1 e x^2+y^2<=1 com massa distribuída uniformemente (densidade unitaria). O tensor de inércia é dado por
Iij=integral triplal(r^2de<aij-xi xjr),dx,dy,dz,
onde r^2=x^2+y^2+z^2 e (x1,x2,x3)=(x,y,z). Precisamos calcular I22 (momento de inércia em torno do eixo y) e I13 (produto de inércia entre x e z). Para isso, usaremos coordenadas cilíndricas rho,theta,z.

Passo 2

Para I22 temos
I22=integral triplal(r^2-y^2r),dV =integral triplal(x^2+y^2+z^2 - y^2r),dV =integral triplal(x^2+z^2r),dV
Em coordenadas cilíndricas rho,theta,z com x=rhocostheta, y=rhosintheta, dV=rho,drho,dtheta,dz, isso vira
I22 =integralz=-1^1integraltheta=0^2piintegralrho=0^1 l(rho^2cos^2theta + z^2r),rho,drho,dtheta,dz

Passo 3

Calculemos a parte com x^2=rho^2cos^2theta:
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^1rho^3,drho=tfrac14, integral-1^1dz=2
Logo
integral x^2,dV =picdottfrac14cdot2 =tfracpi2

Passo 4

Agora a parte com z^2:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^1rho,drho=tfrac12, integral-1^1z^2,dz=tfrac23
Logo
integral z^2,dV =2picdottfrac12cdottfrac23 =tfrac2pi3

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
I22 =tfracpi2 + tfrac2pi3 =tfrac3pi+4pi6 =tfrac7pi6

Passo 6

Para I13 (componente i=1,j=3) temos
I13 =integral triplal(r^2de<a13-x zr),dV =-integral tripla xz,dV
Mas xz é função ímpar em x (ou em z) e o domínio é simétrico em xmapsto -x (e em zmapsto -z). Portanto
I13=0

Resposta

I22=7pi6, \quad I13=0.

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