Para um cilindro
, seja seu tensor de inércia
Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado considera um cilindro definido por
e
com massa distribuída uniformemente (densidade unitaria). O tensor de inércia é dado por
onde
e
. Precisamos calcular
(momento de inércia em torno do eixo
) e
(produto de inércia entre
e
). Para isso, usaremos coordenadas cilíndricas
.
Passo 2
Para
temos
Em coordenadas cilíndricas
com
,
,
, isso vira
Passo 3
Calculemos a parte com
:
Logo
Passo 4
Agora a parte com
:
Logo
Passo 5
Somando as duas parcelas, obtemos
Passo 6
Para
(componente
) temos
Mas
é função ímpar em
(ou em
) e o domínio é simétrico em
(e em
). Portanto