Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
gamma(t)=(e^t cos t, e^t sen t), 0 <= t <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva planar gamma(t)=(e^tcos t,,e^tsin t) para 0<= t<=pi2. O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva paramétrica, cuja fórmula é
L=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt
Precisamos então calcular gamma'(t), seu módulo e depois integrar de 0 a pi/2.

Passo 2

Vamos achar a derivada de gamma(t). Diferenciando cada coordenada temos
gamma'(t)=l(e^tcos t - e^tsin t,;e^tsin t + e^tcos tr)
Podemos fatorar e^t:
[
\gamma’(t)=e^t\bigl(\cos t-\sin t,;\sin t+\cos t\bigr),.

Passo 3

Agora calculamos o módulo de gamma'(t). Primeiro o quadrado do módulo:
|gamma'(t)|^2=e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2r]
Expandindo:
(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2=cos^2t-2sin tcos t+sin^2t+sin^2t+2sin tcos t+cos^2t=2
Logo
|gamma'(t)|^2=2e^2t
e portanto
|gamma'(t)|=raiz2,e^t .

Passo 4

Finalmente, substituímos na integral de comprimento:
L=integral0^pi2|gamma'(t)|,dt=raiz2integral0^pi2e^t,dt =raiz2l[e^tr]0^pi2=raiz2l(e^pi2-1r)

Resposta

L=raiz2l(e^pi2-1r)

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