Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva planar
para
. O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva paramétrica, cuja fórmula é
Precisamos então calcular
gamma'(t) , seu módulo e depois integrar de 0 a
pi/2 .
Passo 2
Vamos achar a derivada de
gamma(t) . Diferenciando cada coordenada temos
Podemos fatorar
e^t :
[
\gamma’(t)=e^t\bigl(\cos t-\sin t,;\sin t+\cos t\bigr),.
\gamma’(t)=e^t\bigl(\cos t-\sin t,;\sin t+\cos t\bigr),.
Passo 3
Agora calculamos o módulo de
gamma'(t) . Primeiro o quadrado do módulo:
Expandindo:
Logo
e portanto
Passo 4
Finalmente, substituímos na integral de comprimento: