Determine fx(x, y) e fy(x, y) das seguintes funções:
f(x, y)=x^3 cos (x^2 y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y da função
f(x,y)=x^3cosl(x^2yr)
Vamos usar a regra do produto (para partial f/partial x) e a regra da cadeia (para ambas).

Passo 2

Para computar partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos:
  1. Regra do produto em x^3 e cos(x^2y).
  2. Regra da cadeia em cos(u) com u=x^2y.
    Logo,
partial fpartial x = ddxl(x^3r)cos(x^2y) + x^3,ddxl[cos(x^2y)r]
Calculando cada termo:
ddxl(x^3r)=3x^2, ddxl[cos(x^2y)r] =-sin(x^2y)cdotddx(x^2y) =-sin(x^2y)cdot(2x,y)
Portanto,
partial fpartial x =3x^2cos(x^2y) -2x^4y,sin(x^2y)

Passo 3

Para computar partial fpartial y, tratamos x como constante e só usamos a regra da cadeia em cos(x^2y) com u=x^2y. Assim,
partial fpartial y = x^3,ddyl[cos(x^2y)r] = x^3l[-sin(x^2y)r]cdotddy(x^2y) = -x^3sin(x^2y)cdot x^2
Logo,
partial fpartial y =-x^5sin(x^2y)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =3x^2cos(x^2y) -2x^4y,sin(x^2y), partial fpartial y(x,y) =-x^5sin(x^2y)

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