Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
gamma(t)=(log t, 2 t, t^2), 1 <= t <= e.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva gamma(t) = (log t,,2t,,t^2) para 1 <= t <= e. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco em R^3:
L = integral1^e l|gamma'(t)r| ,dt

Passo 2

Calcular a derivada vetor gamma'(t). Derivando componente a componente,
gamma'(t) = l(tfracddtlog t,;tfracddt(2t),;tfracddt(t^2)r) = l(tfrac1t,;2,;2tr)

Passo 3

Determinar a norma |gamma'(t)|:
|gamma'(t)| = raizl(tfrac1tr)^2 + 2^2 + (2t)^2 = raiztfrac1t^2 + 4 + 4t^2
Repare que
tfrac1t^2 + 4 + 4t^2 = l(2t + tfrac1tr)^2,
portanto
|gamma'(t)| = 2t + 1t para tin[1,e],
já que escolhemos o sinal positivo da raiz.

Passo 4

Calcular a integral do comprimento:
L = integral1^el(2t + tfrac1tr),dt = integral1^e2t,dt ;+;integral1^etfrac1t,dt = l[t^2r]1^e ;+;l[ln tr]1^e = (e^2 - 1) + (1 - 0) = e^2

Resposta

e^2

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