Determine a área da figura delimitada por 1 <= rho <= 4, pi / 4 <= phi <= pi / 6 e z =5. ( 1,0 pt )

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano z=5 que em coordenadas polares (rho,phi) satisfaz
1 <= rho <= 4, pi/4 <= phi <= pi/6
Isso é um setor anular de raios interno 1 e externo 4. Para calcular áreas em coordenadas polares usamos o elemento
dA = rho,drho,dphi

Passo 2

Como o limite inferior de phi deve ser menor que o superior, reescrevemos a faixa de ângulo como
pi/6 ;<=;phi;<=;pi/4
Assim a região fica bem orientada para integração.

Passo 3

Montamos a integral dupla para a área A:
A = integralphi=pi/6^pi/4integralrho=1^4 rho,drho,dphi

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral1^4rho,drho = rho^22|1^4 = 4^2-1^22 = 16-12 = 152
Logo
A = 152integralpi/6^pi/4dphi

Passo 5

Agora integramos em phi:
integralpi/6^pi/4dphi = pi4-pi6 = pi12
Portanto
A = 152cdotpi12 = 15pi24 = 5pi8

Resposta

A área da região é 5pi8.

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