Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
x=t, y=2 t, z=3 t, 0 <= t <= 1. Resp.: raiz14.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma curva definida por três equações parametrizadas:
x = t
y = 2t
z = 3t
E queremos calcular o comprimento dessa curva quando t varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional. Isso envolve derivadas e a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções x(t) , y(t) e z(t) em relação a t . Isso porque a fórmula para o comprimento de arco utiliza essas derivadas.
Então, derivando cada função:
dxdt = 1
dydt = 2
dzdt = 3

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Onde a = 0 e b = 1 são os limites de t .
Substituindo as derivadas que encontramos:
L = integral0^1 raiz1^2 + 2^2 + 3^2 , dt

Passo 4

Vamos calcular dentro da raiz:
1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14
Então, a integral fica:
L = integral0^1 raiz14 , dt

Passo 5

A raiz de 14 é uma constante, então podemos tirar da integral:
L = raiz14 integral0^1 dt
A integral de dt de 0 a 1 é simplesmente 1, então:
L = raiz14 times 1 = raiz14

Resposta

O comprimento do arco da curva é raiz14 .

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