Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma curva definida por três equações parametrizadas:
E queremos calcular o comprimento dessa curva quando
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional. Isso envolve derivadas e a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções
,
e
em relação a
. Isso porque a fórmula para o comprimento de arco utiliza essas derivadas.
Então, derivando cada função:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço:
Onde
e
são os limites de
.
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos calcular dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
A raiz de 14 é uma constante, então podemos tirar da integral:
A integral de
de 0 a 1 é simplesmente 1, então:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
.