Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
x=2 cos t, y=3 t, z=2 sin t, 0 <= t <= 2 pi. Resp.: 2 pi raiz13.

Passo 1

O enunciado fornece uma curva paramétrica em R^3 dada por
x=2cos t,;y=3t,;z=2sin t,;0<= t<= 2pi.
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica. Para resolver, vamos usar a fórmula
L=integral0^2piraizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2+l(dzdtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada coordenada em relação a t:
dxdt=-2sin t, dydt=3, dzdt=2cos t
Somando os quadrados, obtemos
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2+l(tfracdzdtr)^2 =4sin^2t+9+4cos^2t =4(sin^2t+cos^2t)+9 =13

Passo 3

Como a expressão dentro da raiz é constante igual a 13, o comprimento de arco fica
L=integral0^2piraiz13,dt =raiz13,l[tr]0^2pi =2piraiz13

Resposta

2piraiz13

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