Derive:
r(t)=(t e^t,-sin t cos t, sin t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial r(t) = (t e^t, -sin t cos t, sin t) e a gente precisa derivar essa função em relação ao tempo t. Basicamente, isso significa encontrar como cada uma das componentes muda conforme t varia. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas. 😉

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função vetorial, como r(t), para derivar ela, a gente deriva cada componente separadamente. Então, se r(t) = (f(t), g(t), h(t)), então r,'(t) = (f,'(t), g,'(t), h,'(t)).

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente:
  1. Primeira componente: f(t) = t e^t
    • Para derivar t e^t, usamos a regra do produto: (u cdot v)' = u' cdot v + u cdot v'
    • Aqui, u = t e v = e^t, então u' = 1 e v' = e^t
    • Logo, f,'(t) = 1 cdot e^t + t cdot e^t = e^t (1 + t)
  2. Segunda componente: g(t) = -sin t cos t
    • Podemos simplificar usando uma identidade trigonométrica: sin t cos t = 12 sin(2t)
    • Então, g(t) = -12 sin(2t)
    • Derivando: g,'(t) = -12 cdot 2 cos(2t) = -cos(2t)
  3. Terceira componente: h(t) = sin t
    • A derivada de sin t é cos t
    • Então, h,'(t) = cos t

Resposta

A derivada da função vetorial é:
r,'(t) = (e^t(1 + t), -cos(2t), cos t)

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