Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
. Resp.:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular o comprimento de arco de uma curva no espaço definida pelas equações paramétricas:
para
variando de
a
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas no espaço tridimensional.
Passo 2
A fórmula para calcular o comprimento de arco
de uma curva parametrizada por
é:
onde:
-
e são os limites de , -
, , e são as derivadas das funções , e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções
,
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.