Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
x=2 t+1, y=-t+2, z=-3,-1 <= t <= 32. Resp.: 5 raiz52.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular o comprimento de arco de uma curva no espaço definida pelas equações paramétricas:
x = 2t + 1, y = -t + 2, z = -3
para t variando de -1 a 32 . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas no espaço tridimensional.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento de arco S de uma curva parametrizada por t é:
S = integrala^b raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt
onde:
  • a e b são os limites de t ,
  • dxdt , dydt , e dzdt são as derivadas das funções x(t) , y(t) e z(t) em relação a t .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções x(t) , y(t) e z(t) em relação a t :
dxdt = 2, dydt = -1, dzdt = 0

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
S = integral-1^32 raiz(2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 , dt = integral-1^32 raiz4 + 1 + 0 , dt = integral-1^32 raiz5 , dt

Passo 5

Como raiz5 é uma constante, podemos simplificar a integral:
S = raiz5 integral-1^32 dt = raiz5 ( 32 - (-1) ) = raiz5 ( 52 ) = 5 raiz52

Resposta

O comprimento de arco da curva é 5 raiz52 .

Exercícios relacionados