Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integrale x e^y z d s, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,e^y z,ds
onde C é o segmento de reta de (0,0,0) até (1,2,3).
Conteúdo: integral de linha com elemento de comprimento de arco ds. Vamos precisar parametrizar a reta, expressar x, y, z e ds em função de um parâmetro t e depois calcular a integral.

Passo 2

Parametrização de C: um segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) é dado por
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,,2t,,3t), tin[0,1]

Passo 3

Calculamos ds e substituímos na integral. Primeiro,
r'(t) = (1,,2,,3), |r'(t)| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz14,
logo
ds = |r'(t)|,dt = raiz14,dt
Além disso, na parametrização temos x=t, y=2t, z=3t, então
x,e^y z = t,e^(2t)(3t) = t,e^6t^2

Passo 4

Substituindo tudo na integral,
integralC x,e^y z,ds = integral0^1 t,e^6t^2,l(raiz14,dtr) = raiz14integral0^1 t,e^6t^2,dt
Fazemos a substituição u = 6t^2, daí du = 12t,dt ou t,dt = tfrac112,du. Quando t=0, u=0; quando t=1, u=6. Logo,
integral0^1 t,e^6t^2,dt = integral0^6 e^u,du12 = 112l[e^ur]0^6 = e^6-112

Passo 5

Voltando na integral principal,
integralC x,e^y z,ds = raiz14,e^6-112 = raiz1412,(e^6-1)

Resposta

raiz1412,(e^6-1)

Exercícios relacionados