Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
x=cos t, y=sin t, z=13, pi <= t <= 2 pi. Resp.: pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas paramétricas
r(t) = (cos t,;sin t,;13),
para pi <= t <= 2pi.
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva em R^3. Para isso usaremos a fórmula
L = integrala^b |r'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de r(t):
r'(t) = (-sin t,;cos t,;0)
A norma dessa derivada é
|r'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 0^2 = raizsin^2 t + cos^2 t = 1
Assim o comprimento de arco é
L = integralpi^2pi 1,dt = 2pi - pi = pi

Resposta

pi

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