Sejam p(t) e q(t) funçōes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=4 t^2 ?
y(t)=4 t^2 ln t-4 t^2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo t^2 y'' + p(t) y' + q(t) y = 0 e sabemos que duas soluções fundamentais são y1(t) = t e y2(t) = t^2 . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para a equação t^2 y'' + p(t) y' + q(t) y = 4 t^2 . A matéria envolvida aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares. Vamos precisar usar o método da variação dos parâmetros ou o método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação original t^2 y'' + p(t) y' + q(t) y = 0 tem soluções fundamentais y1(t) = t e y2(t) = t^2 . Isso significa que essas duas funções satisfazem a equação homogênea associada.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea t^2 y'' + p(t) y' + q(t) y = 4 t^2 . Para isso, podemos usar o método de coeficientes a determinar, onde assumimos uma forma para a solução particular baseada no termo não homogêneo, que aqui é 4 t^2 .

Passo 4

Observamos que o termo não homogêneo é 4 t^2 , que já é igual a uma das soluções fundamentais y2(t) = t^2 . Isso indica que precisamos multiplicar nossa suposição por ln t para encontrar uma solução particular que não coincida com as soluções da equação homogênea.

Passo 5

Assim, assumimos que a solução particular tem a forma yp(t) = A t^2 ln t , onde A é uma constante a ser determinada. Vamos derivar essa função para substituir na equação original.

Passo 6

Calculando as derivadas:
yp'(t) = A (2 t ln t + t)
yp''(t) = A ( 2 ln t + 3 )

Passo 7

Substituindo yp(t) , yp'(t) e yp''(t) na equação não homogênea:
t^2 cdot A (2 ln t + 3) + p(t) cdot A (2 t ln t + t) + q(t) cdot A t^2 ln t = 4 t^2

Passo 8

Como y1(t) = t e y2(t) = t^2 são soluções da equação homogênea, os termos com ln t se cancelam, e ficamos com:
3 A t^2 = 4 t^2

Passo 9

Resolvendo para A :
3 A = 4 Rightarrow A = 43

Passo 10

Portanto, a solução particular é:
yp(t) = 43 t^2 ln t

Resposta

A solução particular da equação é y(t) = 43 t^2 ln t .

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