Sejam
e
funçōes contínuas em
. Sabendo-se que
e
sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial
, para
, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação
?
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo
e sabemos que duas soluções fundamentais são
e
. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para a equação
. A matéria envolvida aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares. Vamos precisar usar o método da variação dos parâmetros ou o método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação original
tem soluções fundamentais
e
. Isso significa que essas duas funções satisfazem a equação homogênea associada.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea
. Para isso, podemos usar o método de coeficientes a determinar, onde assumimos uma forma para a solução particular baseada no termo não homogêneo, que aqui é
.
Passo 4
Observamos que o termo não homogêneo é
, que já é igual a uma das soluções fundamentais
. Isso indica que precisamos multiplicar nossa suposição por
para encontrar uma solução particular que não coincida com as soluções da equação homogênea.
Passo 5
Assim, assumimos que a solução particular tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Vamos derivar essa função para substituir na equação original.
Passo 6
Calculando as derivadas:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação não homogênea:
Passo 8
Como
e
são soluções da equação homogênea, os termos com
se cancelam, e ficamos com:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação é
.