O que podemos dizer sobre o gráfico da função z=4-x^2-y^2 ?
a. Os cortes horizontais são hipérboles.
b. É um cone.
c. Os cortes verticais são hipérboles.
d.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função z = 4 - x^2 - y^2 e precisamos analisar o gráfico dela. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre superfícies no espaço tridimensional, especificamente sobre paraboloides. Para resolver isso, vamos precisar entender como diferentes cortes da superfície se comportam quando fixamos valores para z , x ou y .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função z = 4 - x^2 - y^2 representa. Essa é uma equação de uma superfície paraboloidal, mais especificamente um paraboloide circular que se abre para baixo porque o coeficiente de x^2 e y^2 é negativo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das opções:
a. Os cortes horizontais são hipérboles.
Cortes horizontais significam que fixamos o valor de z . Seja z = k , então a equação fica:
k = 4 - x^2 - y^2 implies x^2 + y^2 = 4 - k
Essa é a equação de um círculo quando 4 - k > 0 . Portanto, não são hipérboles, mas sim círculos.
b. É um cone.
Um cone tem uma equação do tipo z^2 = x^2 + y^2 , o que é diferente da nossa equação z = 4 - x^2 - y^2 . Portanto, não é um cone.
c. Os cortes verticais são hipérboles.
Cortes verticais podem ser feitos fixando x ou y . Vamos fixar x = a :
z = 4 - a^2 - y^2 implies y^2 = 4 - a^2 - z
Isso representa uma parábola quando 4 - a^2 - z >= 0 . Novamente, não são hipérboles.

Resposta

Nenhuma das alternativas a, b ou c está correta para o gráfico da função z = 4 - x^2 - y^2 .

Exercícios relacionados