Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Determine, também, para quais valores de
a curva é côncava para baixo.
Passo 1
O enunciado apresenta uma curva paramétrica definida por
Queremos achar onde a tangente é horizontal (inclinação zero), onde é vertical (inclinação infinita) e para quais
a curva é côncava para baixo. Para isso, vamos usar derivadas paramétricas e a segunda derivada para estudar concavidade.
Passo 2
Calcular as derivadas
e
e obter a inclinação
.
logo
Passo 3
Tangente horizontal: impomos
com
. Basta
, ou seja
e em ambos
. Os pontos são:
em :
,
em :
.
em
em
Passo 4
Tangente vertical: impomos
com
. Basta
e nestes
. Os pontos são:
em :
,
em :
.
em
em
Passo 5
Para a concavidade, calculamos
Como
sempre, o sinal de
vem de
, que é negativo quando
.
Resposta
Tangente horizontal em
no ponto
e em
no ponto
.
Tangente vertical em no ponto
e em
no ponto
.
A curva é côncava para baixo para .
Tangente vertical em
A curva é côncava para baixo para