Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Determine, também, para quais valores de t a curva é côncava para baixo.
x=t^3-3 t, y=t^3-3 t^2

Passo 1

O enunciado apresenta uma curva paramétrica definida por
x = t^3 - 3t, y = t^3 - 3t^2
Queremos achar onde a tangente é horizontal (inclinação zero), onde é vertical (inclinação infinita) e para quais t a curva é côncava para baixo. Para isso, vamos usar derivadas paramétricas e a segunda derivada para estudar concavidade.

Passo 2

Calcular as derivadas dxdt e dydt e obter a inclinação dydx.
dxdt = 3t^2 - 3 = 3(t^2 - 1),
dydt = 3t^2 - 6t = 3t(t - 2),
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dydx = dydtdxdt = t(t - 2)t^2 - 1

Passo 3

Tangente horizontal: impomos dydx=0 com dxdtneq0. Basta dydt=0, ou seja
t=0ou t=2,
e em ambos dxdtneq0. Os pontos são:
em t=0: (x,y)=(0,0),
em t=2: (x,y)=(2,-4).

Passo 4

Tangente vertical: impomos dxdt=0 com dydtneq0. Basta
t^2-1=0 Longrightarrow t=pm1,
e nestes dydtneq0. Os pontos são:
em t=1: (x,y)=(-2,-2),
em t=-1: (x,y)=(2,-4).

Passo 5

Para a concavidade, calculamos
d^2ydx^2 = ddt!l(dydxr)/dxdt = 2(t^2 - t + 1)3(t^2 - 1)^3
Como t^2 - t + 1>0 sempre, o sinal de d^2ydx^2 vem de (t^2-1)^3, que é negativo quando |t|<1.

Resposta

Tangente horizontal em t=0 no ponto (0,0) e em t=2 no ponto (2,-4).
Tangente vertical em t=1 no ponto (-2,-2) e em t=-1 no ponto (2,-4).
A curva é côncava para baixo para -1 < t < 1.

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