Obtenha uma equação polar não-trivial para a curva de equação cartesiana (x^2+y^2)^3=4 x^2 y^2. Indique as simetrias da equação polar obtida.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas cartesianas
(x^2+y^2)^3 = 4,x^2y^2
e pede uma equação polar não-trivial. Vamos usar a troca
;x = rcostheta,;y = rsintheta;
e obter r em função de theta.

Passo 2

Substituindo x = rcostheta e y = rsintheta na equação original, temos
(x^2+y^2)^3 = (r^2)^3 = r^6,
4,x^2y^2 = 4,(rcostheta)^2(rsintheta)^2 = 4,r^4cos^2theta,sin^2theta
Logo a equação fica
r^6 = 4,r^4cos^2theta,sin^2theta

Passo 3

Para a parte não-trivial descartamos a solução r=0 e dividimos por r^4, obtendo
r^2 = 4,cos^2theta,sin^2theta
Como 2costheta,sintheta=sin(2theta), chega-mos a
r^2 = sin^2(2theta)

Passo 4

A equação polar não-trivial pode ser escrita como
r^2 = sin^2(2theta)
Isto equivale a
r = l|sin(2theta)r|,
ou, se permitirmos r com sinal,
r = sin(2theta),
que é a clássica rosa de quatro pétalas.

Passo 5

Vamos identificar as simetrias de r^2=sin^2(2theta):
1. sin^2(2(-theta))=sin^2(-2theta)=sin^2(2theta), logo simetria em torno do eixo Ox.
2. sin^2[2(pi-theta)]=sin^2(2theta), logo simetria em torno do eixo Oy.
3. sin^2[2(theta+tfracpi2)]=sin^2(2theta+pi)=sin^2(2theta), logo período tfracpi2 e simetria nas bissetrizes theta=tfracpi4,tfrac3pi4,dots.

Resposta

A equação polar não-trivial é
r^2 = sin^2(2theta),
equivalente a r=|sin(2theta)|.
Ela é simétrica em relação aos eixos x e y e às bissetrizes theta=tfracpi4,tfrac3pi4,dots, com período angular tfracpi2.

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