Obtenha uma equação polar não-trivial para a curva de equação cartesiana . Indique as simetrias da equação polar obtida.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva em coordenadas cartesianas
e pede uma equação polar não-trivial. Vamos usar a troca
e obter em função de .
Passo 2
Substituindo e na equação original, temos
Logo a equação fica
Passo 3
Para a parte não-trivial descartamos a solução e dividimos por , obtendo
Como , chega-mos a
Passo 4
A equação polar não-trivial pode ser escrita como
Isto equivale a
ou, se permitirmos r com sinal,
r = sin(2theta),
que é a clássica rosa de quatro pétalas.
Passo 5
Vamos identificar as simetrias de r^2=sin^2(2theta): 1. sin^2(2(-theta))=sin^2(-2theta)=sin^2(2theta), logo simetria em torno do eixo Ox. 2. sin^2[2(pi-theta)]=sin^2(2theta), logo simetria em torno do eixo Oy. 3. sin^2[2(theta+tfracpi2)]=sin^2(2theta+pi)=sin^2(2theta), logo período tfracpi2 e simetria nas bissetrizes theta=tfracpi4,tfrac3pi4,dots.
Resposta
A equação polar não-trivial é
r^2 = sin^2(2theta),
equivalente a r=|sin(2theta)|.
Ela é simétrica em relação aos eixos x e y e às bissetrizes theta=tfracpi4,tfrac3pi4,dots, com período angular tfracpi2.