Calcule o comprimento de cada curva no intervalo dado:
l(t)=t cdot cos (t) i+t cdot sen(t) j, t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
ell(t) = l(x(t),y(t)r) = l(tcos t,;tsin tr), tin[0,2pi]
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica, cuja fórmula é
L = integrala^b l|ell'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro vamos calcular o vetor derivada ell'(t). Temos
x(t)=tcos t, y(t)=tsin t,
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x'(t)=cos t - tsin t, y'(t)=sin t + tcos t

Passo 3

O módulo de ell'(t) é
l|ell'(t)r| = raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = raiz(cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2
Expandindo e somando os termos mistos, nota-se que
(cos t)^2 + (sin t)^2 = 1 e t^2l(sin^2 t+cos^2 tr)=t^2,
enquanto os termos cruzados se cancelam. Assim
l|ell'(t)r| = raiz1 + t^2

Passo 4

O comprimento fica então
L = integral0^2pi raiz1 + t^2,dt
Usamos a primitiva conhecida
F(t) = t2raiz1+t^2 + 12lnl(t + raiz1+t^2r),
porque ddtF(t)=raiz1+t^2.

Passo 5

Avaliamo-la entre 0 e 2pi:
L = F(2pi) - F(0)
Em t=2pi temos
F(2pi) = 2pi2raiz1+(2pi)^2 + 12lnl(2pi + raiz1+4pi^2r) = piraiz1+4pi^2 + tfrac12lnl(2pi + raiz1+4pi^2r),
e em t=0
F(0)=0cdotraiz1 + tfrac12ln(0+!1)=0

Resposta

L = piraiz1+4pi^2 + 12,ln!l(2pi + raiz1+4pi^2r)

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