Esboce a curva de nivel z=k com os valores especificados:
a) z=x^2+y com k=0,1,2,3 e 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar a curva de nível da função z = x^2 + y para diferentes valores de k . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação da função em equações mais simples que representam as curvas no plano xy .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação z = k , onde k é uma constante. No nosso caso, temos a função z = x^2 + y . Então, para cada valor de k , teremos uma equação diferente:
x^2 + y = k

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar o esboço da curva. Subtraímos x^2 de ambos os lados:
y = k - x^2
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de x^2 é negativo.

Passo 4

Vamos esboçar a curva para cada valor de k dado: 0, 1, 2, 3 e 4.
Para k = 0 :
y = 0 - x^2 implies y = -x^2
É uma parábola que passa pelo ponto (0,0) e abre para baixo.
Para k = 1 :
y = 1 - x^2
Essa parábola passa pelo ponto (0,1) e também abre para baixo.
Para k = 2 :
y = 2 - x^2
Aqui, a parábola passa pelo ponto (0,2).
Para k = 3 :
y = 3 - x^2
A parábola passa por (0,3).
Para k = 4 :
y = 4 - x^2
E essa última parábola passa por (0,4).

Passo 5

Agora, para esboçar as curvas, vamos plotar cada uma delas no plano xy :
  1. y = -x^2 : vértice em (0,0), abre para baixo.
  2. y = 1 - x^2 : vértice em (0,1), abre para baixo.
  3. y = 2 - x^2 : vértice em (0,2), abre para baixo.
  4. y = 3 - x^2 : vértice em (0,3), abre para baixo.
  5. y = 4 - x^2 : vértice em (0,4), abre para baixo.
Cada parábola está deslocada verticalmente para cima conforme aumenta o valor de k .

Resposta

As curvas de nível da função z = x^2 + y para k = 0, 1, 2, 3 e 4 são parábolas dadas por y = k - x^2 . Cada uma dessas parábolas tem vértice em (0, k) e abre para baixo no plano xy . O esboço dessas curvas mostra parábolas paralelas, deslocadas verticalmente conforme o valor de k aumenta.

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