Esboce a curva de nivel
com os valores especificados:
a)
e 4
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar a curva de nível da função
para diferentes valores de
. Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação da função em equações mais simples que representam as curvas no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. No nosso caso, temos a função
. Então, para cada valor de
, teremos uma equação diferente:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar o esboço da curva. Subtraímos
de ambos os lados:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de
é negativo.
Passo 4
Vamos esboçar a curva para cada valor de
dado: 0, 1, 2, 3 e 4.
Para
:
É uma parábola que passa pelo ponto (0,0) e abre para baixo.
Para
:
Essa parábola passa pelo ponto (0,1) e também abre para baixo.
Para
:
Aqui, a parábola passa pelo ponto (0,2).
Para
:
A parábola passa por (0,3).
Para
:
E essa última parábola passa por (0,4).
Passo 5
Agora, para esboçar as curvas, vamos plotar cada uma delas no plano
:
-
: vértice em (0,0), abre para baixo. -
: vértice em (0,1), abre para baixo. -
: vértice em (0,2), abre para baixo. -
: vértice em (0,3), abre para baixo. -
: vértice em (0,4), abre para baixo.
Cada parábola está deslocada verticalmente para cima conforme aumenta o valor de
.
Resposta
As curvas de nível da função
para
e
são parábolas dadas por
. Cada uma dessas parábolas tem vértice em
e abre para baixo no plano
. O esboço dessas curvas mostra parábolas paralelas, deslocadas verticalmente conforme o valor de
aumenta.