Deduza a fórmula de Bháskara para a equação quadrática a x^2+b x+c=0.

Revisão: números reais, módulos e inequações

(1) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(a) () raiz4= pm 2;
(b) ( ) pi=227;
(c) () raizx^2=x, para todo x in R;
(d) () raiz36+raiz64=raiz36+64;
(e) () raiza^2+b^2=a+b;
(f) () 3<1x Long<=ftrightarrow x<13, para x neq 0;
(g) ( ) a <= b Longrightarrow a^2 <= b^2, para a, b reais quaisquer;
(h) ( ) Sejam a in Q e b in R backslash Q. Então a cdot b in R backslash Q;
(i) ( ) |a+b|=|a|+|b|, forall a, b in R;
(j) ( ) Se x<y, então |x-y|=x-y;
(k) () raiza^2 b^2=a b ;
(l) ( ) Se z in R e x <= y, então x z <= y z;
(m) ( ) a^4=81 b^4 Longrightarrow a=3 b;
(n) ( ) Para 0<a<b, vale 0<raiza b<a+b2<b.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula de Bháskara, ou seja, encontrar as soluções da equação quadrática genérica
a x^2 + b x + c = 0
usando a técnica de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por a (supondo aneq0) para tornar o coeficiente de x^2 igual a 1:
x^2 + ba,x + ca = 0
Em seguida, isolamos os termos com x num lado:
x^2 + ba,x = -,ca

Passo 3

Para completar o quadrado, somamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de x. A “metade” de tfracba é tfracb2a, e seu quadrado é tfracb^24a^2. Assim:
x^2 + ba,x + b^24a^2 ;=; -,ca + b^24a^2

Passo 4

O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito, pois
x^2 + ba,x + b^24a^2 =l(x + b2ar)^2
No lado direito, colocamos sobre o mesmo denominador 4a^2:
-,ca + b^24a^2 = -4ac + b^24a^2 = b^2 - 4ac4a^2
Logo,
l(x + b2ar)^2 = b^2 - 4ac4a^2

Passo 5

Agora extraímos a raiz quadrada em ambos os lados, lembrando do “ pm”:
x + b2a = pm raiz,b^2 - 4ac,2a
Finalmente, isolamos x:
x = -,b2a ;pm; raiz,b^2 - 4ac,2a = -b pm raiz,b^2 - 4ac,2a

Resposta

boxedx = -b pm raiz,b^2 - 4ac,2a

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