Deduza a fórmula de Bháskara para a equação quadrática
.
Revisão: números reais, módulos e inequações
(1) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(a) ()
;
(b) ( )
;
(c) ()
, para todo
;
(d) ()
;
(e) ()
;
(f)
, para
;
(g) ( )
, para
reais quaisquer;
(h) ( ) Sejam
e
. Então
;
(i) ( )
;
(j) ( ) Se
, então
;
(k) ()
(l) ( ) Se
e
, então
;
(m) ( )
;
(n) ( ) Para
, vale
.
(a) ()
(b) ( )
(c) ()
(d) ()
(e) ()
(f)
(g) ( )
(h) ( ) Sejam
(i) ( )
(j) ( ) Se
(k) ()
(l) ( ) Se
(m) ( )
(n) ( ) Para
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula de Bháskara, ou seja, encontrar as soluções da equação quadrática genérica
usando a técnica de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, dividimos toda a equação por
(supondo
) para tornar o coeficiente de
igual a 1:
Em seguida, isolamos os termos com
num lado:
Passo 3
Para completar o quadrado, somamos e subtraímos o quadrado de metade do coeficiente de
. A “metade” de
é
, e seu quadrado é
. Assim:
Passo 4
O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito, pois
No lado direito, colocamos sobre o mesmo denominador
:
Logo,
Passo 5
Agora extraímos a raiz quadrada em ambos os lados, lembrando do “
”:
Finalmente, isolamos
: