Determine os extremos relativos de f, caso existam
a) f(x, y)=12 x-x^3-4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função
f(x,y)=12x - x^3 - 4y^2
O conteúdo envolve derivadas parciais para achar pontos críticos e o teste da matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x=12 - 3x^2,
partial fpartial y=-8y

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
12 - 3x^2 = 0 Rightarrow x^2=4 Rightarrow x=pm2,
-8y=0 Rightarrow y=0
Logo, os pontos críticos são (2,0) e (-2,0).

Passo 4

Agora precisamos das segundas derivadas para montar a matriz Hessiana H:
partial^2 fpartial x^2=-6x, partial^2 fpartial y^2=-8, partial^2 fpartial x,partial y=0

Passo 5

No teste do Hessiano, o determinante é
D(x,y) =partial^2 fpartial x^2,partial^2 fpartial y^2 - l(partial^2 fpartial x,partial yr)^2 =(-6x)(-8)-0=48x
Em (2,0):
D(2,0)=48cdot2=96>0, partial^2 fpartial x^2g|(2,0)=-6cdot2=-12<0,
portanto temos um ponto de máximo relativo em (2,0).
Em (-2,0):
D(-2,0)=48cdot(-2)=-96<0,
logo é ponto de sela.

Resposta

Ponto de máximo relativo: (2,0) com f(2,0)=16.
Em (-2,0) há ponto de sela, e não existem mínimos relativos.

Exercícios relacionados