Calcule o comprimento de cada curva no intervalo dado:
s(t)=e^t cos (2 t) i+e^t sen(2 t) j+e^t k, t in[0,3]

Passo 1

A curva é dada por
s(t)=e^tcos(2t),i+e^tsin(2t),j+e^t,k, tin[0,3]
O comprimento de arco de uma curva paramétrica s(t) é
L=integrala^b|s'(t)|,dt
Aqui vamos precisar calcular s'(t), depois |s'(t)| e finalmente integrar de 0 a 3.

Passo 2

Derivando componente a componente:
x(t)=e^tcos(2t) Longrightarrow x'(t)=e^tcos(2t)-2e^tsin(2t)=e^tl(cos(2t)-2sin(2t)r),
y(t)=e^tsin(2t) Longrightarrow y'(t)=e^tsin(2t)+2e^tcos(2t)=e^tl(sin(2t)+2cos(2t)r),
z(t)=e^t Longrightarrow z'(t)=e^t

Passo 3

Agora avaliamos
|s'(t)|^2 =e^2tl[l(cos(2t)-2sin(2t)r)^2+l(sin(2t)+2cos(2t)r)^2+1r]
Expandindo as duas primeiras parcelas dá
(cos-2sin)^2+(sin+2cos)^2 =5cos^2(2t)+5sin^2(2t)=5,
então
|s'(t)|^2=e^2t(5+1)=6e^2t Longrightarrow |s'(t)|=e^traiz6

Passo 4

Substituindo em L:
L=integral0^3e^traiz6,dt =raiz6integral0^3e^t,dt =raiz6l[e^tr]0^3 =raiz6l(e^3-1r)

Resposta

L=raiz6,l(e^3-1r)

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