Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: primeiro o teste de convergência absoluta e, se falhar, o teste de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Teste de convergência absoluta. Consideramos a série dos valores absolutos:
Mas sabemos que a \emph{p-série}
sumn=1^infty1n
é o famoso “harmonic series” com p=1, que diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste de Leibniz (séries alternantes). Definimos an=tfrac1n. Precisamos verificar duas condições: 1. an é decrescente para n>=1, pois tfrac1n+1<tfrac1n. 2. limntoinftyan=limntoinftytfrac1n=0.
Como ambas se cumprem, a série alternante
sumn=1^infty(-1)^nan
converge pelo critério de Leibniz.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^nn é condicionalmente convergente.