Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty (-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nn
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: primeiro o teste de convergência absoluta e, se falhar, o teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|(-1)^nn| =sumn=1^infty1n
Mas sabemos que a \emph{p-série}
sumn=1^infty1n
é o famoso “harmonic series” com p=1, que diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de Leibniz (séries alternantes). Definimos an=tfrac1n. Precisamos verificar duas condições:
1. an é decrescente para n>=1, pois tfrac1n+1<tfrac1n.
2. limntoinftyan=limntoinftytfrac1n=0.
Como ambas se cumprem, a série alternante
sumn=1^infty(-1)^nan
converge pelo critério de Leibniz.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nn é condicionalmente convergente.

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