Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
Encontre os valores de
tais que a área da região delimitada pelas parábolas
e
seja 576.
Encontre os valores de
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos a região limitada pelas parábolas
e
e, em seguida, encontrarmos os valores de
tais que a área dessa região seja
.
O conteúdo utilizado será integração definida para calcular a área entre duas curvas, e precisaremos:
O conteúdo utilizado será integração definida para calcular a área entre duas curvas, e precisaremos:
- Determinar os pontos de interseção (limites de integração).
- Expressar a área como
. - Resolver a equação resultante em função de
.
Passo 2
Para esboçar qualitativamente:
– A curva é uma parábola com concavidade para cima e vértice em
.
– A curva é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em
.
Elas são simétricas em relação ao eixo e formam uma “lente” centrada na origem.
– A curva
– A curva
Elas são simétricas em relação ao eixo
Passo 3
Os pontos de interseção satisfazem
Logo,
Portanto, a região está entre
e
, com
e
.
Passo 4
A área
entre as curvas é
Calculando:
Passo 5
Impondo
, temos
Como só aparece
nas curvas,
pode ser positivo ou negativo com mesma área, logo