Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas parábolas y=x^2-c^2 e y=c^2-x^2 seja 576.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos a região limitada pelas parábolas
y = x^2 - c^2
e
y = c^2 - x^2
e, em seguida, encontrarmos os valores de c tais que a área dessa região seja 576.
O conteúdo utilizado será integração definida para calcular a área entre duas curvas, e precisaremos:
  • Determinar os pontos de interseção (limites de integração).
  • Expressar a área como integral (ysuperior - yinferior),dx.
  • Resolver a equação resultante em função de c.

Passo 2

Para esboçar qualitativamente:
– A curva y = x^2 - c^2 é uma parábola com concavidade para cima e vértice em l(0,-c^2r).
– A curva y = c^2 - x^2 é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em l(0,c^2r).
Elas são simétricas em relação ao eixo y e formam uma “lente” centrada na origem.

Passo 3

Os pontos de interseção satisfazem
x^2 - c^2 ;=; c^2 - x^2
Logo,
2x^2 = 2c^2 Longrightarrow x^2=c^2 Longrightarrow x=pm c
Portanto, a região está entre x=-c e x=+c, com ysuperior=c^2-x^2 e yinferior=x^2-c^2.

Passo 4

A área A entre as curvas é
A = integral-c^cl[(c^2-x^2) - (x^2-c^2)r],dx = integral-c^c(2c^2-2x^2),dx
Calculando:
A = 2integral-c^c(c^2-x^2),dx = 2l[c^2x - tfracx^33r]-c^c = 2l[l(c^3-tfracc^33r) - l(-c^3+tfracc^33r)r] = 8c^33

Passo 5

Impondo A=576, temos
8c^33 = 576 Longrightarrow c^3 = 576cdot38 = 216 Longrightarrow c = raiz[,3]216 = 6
Como só aparece c^2 nas curvas, c pode ser positivo ou negativo com mesma área, logo
c = pm 6

Resposta

c = 6 ou c = -6.

Exercícios relacionados