Calcule o comprimento de cada curva no intervalo dado:
w(t)=(sen(t)-t cos (t), cos (t)+sen(t)), t in[0,2]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
w(t)=l(sin t - tcos t,;cos t + tsin tr), tin[0,2],
usando a fórmula de comprimento de arco de uma curva dada por
L=integrala^bllVert w'(t)rrVert,dt
Aqui o conteúdo é cálculo de comprimento de arco em parametrização por t.

Passo 2

Vamos calcular a derivada w'(t). Para isso diferenciamos cada componente:
ddtl(sin t - tcos tr) =cos t -l(cos t - tsin tr) =tsin t,
ddtl(cos t + tsin tr) =-sin t +l(sin t + tcos tr) =tcos t
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w'(t)=l(tsin t,;tcos tr)

Passo 3

Agora calculamos a norma de w'(t):
lVert w'(t)rVert =raiz(tsin t)^2+(tcos t)^2 =raizt^2l(sin^2t+cos^2tr) =raizt^2 =t
(para t>=0 usamos raizt^2=t).

Passo 4

Finalmente, o comprimento de arco é
L=integral0^2lVert w'(t)rVert,dt =integral0^2t,dt =[t^22]0^2 =2^22-0 =2

Resposta

O comprimento da curva é 2.

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