Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty(1e^n+1n(n+1))

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyl(1e^n+1n(n+1)r)
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas. Vamos separar em duas séries simples: sum1/e^n e sum1/(n(n+1)).

Passo 2

Analisamos a série
sumn=1^infty1e^n
É uma série geométrica de termo geral l(1/er)^n com razão rho=1/e. Como lvert1/ervert<1, essa série converge.

Passo 3

Analisamos a série
sumn=1^infty1n(n+1)
Fazendo frações parciais:
1n(n+1) =1n-1n+1
Logo, o somatório parcial até N é
sumn=1^N1n(n+1) =sumn=1^Nl(1n-1n+1r) =1-1N+1,
que tem limite 1 quando Ntoinfty. Portanto essa série também converge.

Passo 4

Como a soma de séries convergentes é convergente, concluímos que
sumn=1^inftyl(1e^n+1n(n+1)r)
converge.

Resposta

A série converge.

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