Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. As informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação envolve divisão por
em uma etapa natural da resolução, então teremos que trabalhar com (cada intervalo onde ou admite uma constante de integração possivelmente diferente).
O objetivo é obter a solução geral válida para.
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma linear padrão
. Para isso dividimos ambos os lados por
(válido para
):
Aqui
e
. Dividir por
é um passo algébrico simples: cada termo da equação é dividido por
, transformando
em
e
em
.
Passo 3
Método escolhido: fator integrante (método padrão para EDOs lineares de 1ª ordem). A ideia:
- Para uma equação da forma
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
obtém-se no lado esquerdo a derivada de :
Explicando:
é escolhida exatamente para que
, o que faz com que
.
Passo 4
Calcular o fator integrante com
:
Usando propriedades dos logaritmos:
Como estamos trabalhando em intervalos onde
mantém sinal (ou seja,
ou
), podemos tomar simplesmente
(o sinal absoluto só importa para notar a dependência no logaritmo; em prática
funciona em cada intervalo sem mudança).
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
:
Observe que o lado esquerdo é a derivada de
. Verificação:
que coincide com o lado esquerdo acima. Assim temos a equação exata
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Explicando: a integral de
é
porque a derivada de
é
.
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
:
Podemos justificar a forma da solução como soma da solução particular
e da solução geral da homogênea
.
Passo 8
Verificação rápida (útil em prova): calcule
a partir de
.
Primeiro, .
Então
Primeiro,
Então
confirmando que a solução satisfaz a equação original.
Também é importante lembrar: solução válida para
. Em aplicações se precisar da solução em todo o real incluindo
, é necessário analisar limites ou condições iniciais específicas; para a resolução padrão da EDO ficamos com a família indicada em cada intervalo onde
tem sinal fixo.