Resolva a equação diferencial.
x y^{\prime}-2 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,y' - 2y = x^{2}
e pede para encontrar a solução geral y(x). As informações relevantes:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve divisão por x em uma etapa natural da resolução, então teremos que trabalhar com x\neq0 (cada intervalo onde x>0 ou x<0 admite uma constante de integração possivelmente diferente).
    O objetivo é obter a solução geral válida para x\neq0.

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma linear padrão y'+P(x)\,y=Q(x). Para isso dividimos ambos os lados por x (válido para x\neq0):
y' - \frac{2}{x}\,y = x.
Aqui P(x)=-\dfrac{2}{x} e Q(x)=x. Dividir por x é um passo algébrico simples: cada termo da equação é dividido por x, transformando x\,y' em y' e x^{2} em x.

Passo 3

Método escolhido: fator integrante (método padrão para EDOs lineares de 1ª ordem). A ideia:
  • Para uma equação da forma y'+P(x)\,y=Q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se no lado esquerdo a derivada de \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,Q(x).
Explicando: \mu é escolhida exatamente para que \mu'=\mu P, o que faz com que (\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu(y'+P y).

Passo 4

Calcular o fator integrante com P(x)=-\dfrac{2}{x}:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\frac{2}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(-2\ln|x|\big).
Usando propriedades dos logaritmos:
\exp\!\big(-2\ln|x|\big)=|x|^{-2}.
Como estamos trabalhando em intervalos onde x mantém sinal (ou seja, x>0 ou x<0), podemos tomar simplesmente \mu(x)=x^{-2} (o sinal absoluto só importa para notar a dependência no logaritmo; em prática \mu=x^{-2} funciona em cada intervalo sem mudança).

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x^{-1}.
Observe que o lado esquerdo é a derivada de x^{-2}y. Verificação:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-2}y' + y\frac{d}{dx}(x^{-2})=x^{-2}y' -2x^{-3}y,
que coincide com o lado esquerdo acima. Assim temos a equação exata
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-1}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-2}y=\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Explicando: a integral de x^{-1} é \ln|x| porque a derivada de \ln|x| é 1/x.

Passo 7

Isolamos y multiplicando por x^{2}:
y = x^{2}\big(\ln|x| + C\big).
Podemos justificar a forma da solução como soma da solução particular y_{p}=x^{2}\ln|x| e da solução geral da homogênea y_{h}=C x^{2}.

Passo 8

Verificação rápida (útil em prova): calcule y' a partir de y=x^{2}(\ln|x|+C).
Primeiro, y'=2x(\ln|x|+C)+x^{2}\cdot\frac{1}{x}=2x\ln|x|+2Cx+x.
Então
x y' - 2y = x\big(2x\ln|x|+2Cx+x\big)-2x^{2}(\ln|x|+C)=x^{2},
confirmando que a solução satisfaz a equação original.
Também é importante lembrar: solução válida para x\neq0. Em aplicações se precisar da solução em todo o real incluindo 0, é necessário analisar limites ou condições iniciais específicas; para a resolução padrão da EDO ficamos com a família indicada em cada intervalo onde x tem sinal fixo.

Resposta

y(x)=x^{2}\big(\ln|x|+C\big)

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