Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função cuja derivada se pede é o produto de duas funções:
e . - Não há outros dados numéricos; trata-se de aplicar regras de derivação.
Passo 2
Regra que vamos usar: regra do produto. Se
e
são diferenciáveis então
Aqui
e
são as derivadas de
e
, respectivamente. É só a fórmula padrão: derivar a primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Identificação das funções do produto:
Derivada de
: a exponencial é especial — a derivada de
é ela mesma:
Breve explicação: isso vem da definição/exponenciação; para prova formal pode-se usar série de Taylor ou propriedades da exponencial, mas na prática memoriza-se que
.
Passo 4
Derivada de
. Usamos que
Aplicando a regra do quociente (se
então
), com
e
, temos
Como
, resulta
Observação alternativa (identidade útil):
, por identidade trigonométrica.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os derivados que acabamos de calcular:
Fatorando
fica
Passo 6
Forma alternativa, usando
:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na prova.