Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d x}\left(e^{x} \operatorname{tg} x\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada
\frac{d}{dx}\!\left(e^{x}\operatorname{tg}x\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função cuja derivada se pede é o produto de duas funções: e^{x} e \operatorname{tg}x.
  • Não há outros dados numéricos; trata-se de aplicar regras de derivação.

Passo 2

Regra que vamos usar: regra do produto. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v, respectivamente. É só a fórmula padrão: derivar a primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Identificação das funções do produto:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\operatorname{tg}x.
Derivada de u: a exponencial é especial — a derivada de e^{x} é ela mesma:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Breve explicação: isso vem da definição/exponenciação; para prova formal pode-se usar série de Taylor ou propriedades da exponencial, mas na prática memoriza-se que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{tg}x. Usamos que
\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Aplicando a regra do quociente (se p/q então (p/q)'=(p'q-pq')/q^{2}), com p=\sin x e q=\cos x, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x =\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, resulta
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Observação alternativa (identidade útil): \dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\operatorname{tg}^{2}x, por identidade trigonométrica.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os derivados que acabamos de calcular:
\frac{d}{dx}\!\left(e^{x}\operatorname{tg}x\right) = e^{x}\cdot\operatorname{tg}x + e^{x}\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}.
Fatorando e^{x} fica
\frac{d}{dx}\!\left(e^{x}\operatorname{tg}x\right) = e^{x}\!\left(\operatorname{tg}x+\frac{1}{\cos^{2}x}\right).

Passo 6

Forma alternativa, usando \dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\operatorname{tg}^{2}x:
\frac{d}{dx}\!\left(e^{x}\operatorname{tg}x\right) = e^{x}\!\bigl(1+\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}^{2}x\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na prova.

Resposta

\frac{d}{dx}\!\left(e^{x}\operatorname{tg}x\right)=e^{x}\!\left(\operatorname{tg}x+\frac{1}{\cos^{2}x}\right)

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