Obtenha uma reta t paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e tangente à parábola \lambda: y=x^{2}-x+5. Ache o ponto T de tangência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá uma informação clara:
  • Pedido 1: determinar a equação da reta t que seja paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e tangente à parábola \lambda.
  • Pedido 2: encontrar o ponto T de tangência entre essa reta t e a parábola \lambda.
  • Informação dada: a parábola é \lambda:\;y=x^{2}-x+5.
  • Informação extra inferida do enunciado: a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta \,y=x, portanto qualquer reta paralela a ela tem coeficiente angular igual a 1 e pode ser escrita na forma y=x+b, com b real.

Passo 2

Entendendo o que significa “reta tangente” (aula rápida e direta).
  • Definição prática usada aqui: uma reta é tangente a uma curva num ponto quando ela toca a curva nesse ponto e tem o mesmo coeficiente angular (a mesma inclinação) que a curva naquele ponto.
  • Para uma curva dada por y=f(x), o coeficiente angular da curva em um ponto de abscissa x é dado pela derivada f'(x). A derivada é a taxa de variação instantânea de y em relação a x.
  • Aqui, a reta buscada tem coeficiente angular 1 (porque é paralela a y=x). Logo, no ponto de tangência T devemos ter a derivada da parábola igual a 1.

Passo 3

Calcular a derivada da parábola e igualar ao coeficiente angular 1.
  • A função associada à parábola é f(x)=x^{2}-x+5.
  • A derivada é f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x+5\bigr)=2x-1.
  • Condição de tangência: f'(x)=1 \quad\Rightarrow\quad 2x-1=1.
  • Resolver para x: 2x=2\quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 4

Encontrar a ordenada do ponto de tangência e escrever o ponto T.
  • Avaliar f em x=1: y=f(1)=1^{2}-1+5=1-1+5=5.
  • Logo o ponto de tangência é T=(1,5).

Passo 5

Determinar a equação da reta tangente t que tem coeficiente angular 1 e passa por T.
  • Usar a forma ponto-de-reta: y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é o coeficiente angular e (x_{0},y_{0}) um ponto conhecido.
  • Substituindo m=1 e T=(1,5): y-5=1\cdot(x-1).
  • Simplificando: y=x+4.

Passo 6

Verificação alternativa (método algébrico por multiplicidade de raízes) — aula curta de checagem.
  • Interseção entre y=x+b e y=x^{2}-x+5 é solução de x+b=x^{2}-x+5\quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x+(5-b)=0.
  • Para que a reta seja tangente, a quadrática acima deve ter uma raiz dupla (discriminante zero): \Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(5-b)=4-20+4b=4b-16.
  • Pedir \Delta=0 4b-16=0\Rightarrow b=4, então a reta é y=x+4, confirmando o passo anterior.

Resposta

A reta t é y=x+4.
O ponto de tangência é T=(1,5).

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