Obtenha uma reta
paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e tangente à parábola
. Ache o ponto
de tangência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá uma informação clara:
- Pedido 1: determinar a equação da reta
que seja paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e tangente à parábola . - Pedido 2: encontrar o ponto
de tangência entre essa reta e a parábola . - Informação dada: a parábola é
. - Informação extra inferida do enunciado: a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta
, portanto qualquer reta paralela a ela tem coeficiente angular igual a e pode ser escrita na forma , com real.
Passo 2
Entendendo o que significa “reta tangente” (aula rápida e direta).
- Definição prática usada aqui: uma reta é tangente a uma curva num ponto quando ela toca a curva nesse ponto e tem o mesmo coeficiente angular (a mesma inclinação) que a curva naquele ponto.
- Para uma curva dada por
, o coeficiente angular da curva em um ponto de abscissa é dado pela derivada . A derivada é a taxa de variação instantânea de em relação a . - Aqui, a reta buscada tem coeficiente angular
(porque é paralela a ). Logo, no ponto de tangência devemos ter a derivada da parábola igual a .
Passo 3
Calcular a derivada da parábola e igualar ao coeficiente angular
.
- A função associada à parábola é
. - A derivada é
- Condição de tangência:
- Resolver para
:
Passo 4
Encontrar a ordenada do ponto de tangência e escrever o ponto
.
- Avaliar
em : - Logo o ponto de tangência é
.
Passo 5
Determinar a equação da reta tangente
que tem coeficiente angular
e passa por
.
- Usar a forma ponto-de-reta:
onde
é o coeficiente angular e
um ponto conhecido.
- Substituindo
e : - Simplificando:
Passo 6
Verificação alternativa (método algébrico por multiplicidade de raízes) — aula curta de checagem.
- Interseção entre
e é solução de - Para que a reta seja tangente, a quadrática acima deve ter uma raiz dupla (discriminante zero):
- Pedir
dá , então a reta é , confirmando o passo anterior.
Resposta
A reta
é
.
O ponto de tangência é .
O ponto de tangência é