Calcule o comprimento das cruvas dadas em coordenadas polares
r=2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva dada em coordenadas polares por r=2costheta. O conteúdo de matéria é comprimento de arco em coordenadas polares, e vamos precisar aplicar a fórmula L=integraltheta1^theta2raizr^2+(tfracdrdtheta)^2,dtheta e determinar o intervalo de theta onde r>=0.

Passo 2

Vamos achar tfracdrdtheta e simplificar a soma dentro da raiz. Derivando r=2costheta obtemos tfracdrdtheta=-2sintheta. Então
r^2+l(tfracdrdthetar)^2=4cos^2theta+4sin^2theta=4,
e portanto raizr^2+(tfracdrdtheta)^2=2.

Passo 3

Como r=2costheta só está definido não-negativo para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2, o comprimento é
L=integral-pi/2^pi/22,dtheta=2l[thetar]-pi/2^pi/2=2pi

Resposta

2\pi

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