Use o teste da integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=3^infty 1n(2 n-5)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série sumn=3^infty1n(2n-5). O conteúdo aqui é convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar transformar a soma em uma integral imprópria envolvendo a função f(x)=1x(2x-5).

Passo 2

Definimos a função f(x)=1x(2x-5) para x>=3. Primeiro, notamos que f(x)>0 e é contínua em [3,infty). Para mostrar que f é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl((2x^2-5x)^-1r)=-4x-5(2x^2-5x)^2
Como para x>=3 temos 4x-5>0 e denominador positivo, concluímos que f'(x)<0. Logo, f é decrescente.

Passo 3

Agora vamos analisar a integral imprópria
integral3^inftydxx(2x-5)
Para integrá-la, fazemos frações parciais. Escrevemos
1x(2x-5)=Ax+B2x-5,
onde
1=A(2x-5)+Bximplies 2A+B=0, -5A=1
Daí A=-tfrac15 e B=tfrac25. Assim
1x(2x-5)=-15x+25(2x-5)
Integrando cada parte,
integraldxx(2x-5)=-15ln x+25cdot12ln|2x-5|+C =15ln2x-5x+C

Passo 4

Agora avaliamos o limite da integral imprópria: seja
I(b)=integral3^bdxx(2x-5)=15ln2b-5b-15ln6-53
Quando btoinfty, temos 2b-5bto2, logo
limbtoinftyI(b)=15(ln2-lntfrac13)=15ln6
Portanto, a integral converge.

Passo 5

Pelo teste da integral, como
integral3^inftydxx(2x-5)
é finita, a série sumn=3^infty1n(2n-5) também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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