Use o teste da integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
. O conteúdo aqui é convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar transformar a soma em uma integral imprópria envolvendo a função
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Primeiro, notamos que
e é contínua em
. Para mostrar que
é decrescente, calculamos a derivada:
Como para
temos
e denominador positivo, concluímos que
. Logo,
é decrescente.
Passo 3
Agora vamos analisar a integral imprópria
Para integrá-la, fazemos frações parciais. Escrevemos
onde
Daí
e
. Assim
Integrando cada parte,
Passo 4
Agora avaliamos o limite da integral imprópria: seja
Quando
, temos
, logo
Portanto, a integral converge.
Passo 5
Pelo teste da integral, como
é finita, a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.