Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Nesse método a gente reescreve a equação como
, isola todos os termos que envolvem
num lado e todos os que envolvem
no outro, e depois integra cada lado.
Passo 2
Primeiro transformamos em derivada explícita dividindo por
e por
:
Fatorando
no numerador e
no denominador:
Agora separamos as variáveis:
Passo 3
Em seguida, integramos cada lado. Para a integral de
fazemos
, e para a de
fazemos
. Isso leva a:
Passo 4
Igualando as duas primitivas e juntando as constantes em
, temos:
Multiplicando por 2 e exponenciando obtemos a solução implícita geral:
ou seja
Passo 5
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.