Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (4y + yx^2),dy = (2x + xy^2),dx usando o método de separação de variáveis. Nesse método a gente reescreve a equação como dy/dx, isola todos os termos que envolvem y num lado e todos os que envolvem x no outro, e depois integra cada lado.

Passo 2

Primeiro transformamos em derivada explícita dividindo por dx e por (4y + yx^2):
dydx = 2x + x y^24y + x^2 y
Fatorando x no numerador e y no denominador:
dydx = x(2 + y^2)y(4 + x^2)
Agora separamos as variáveis:
y2 + y^2,dy = x4 + x^2,dx

Passo 3

Em seguida, integramos cada lado. Para a integral de y/(2+y^2) fazemos u = 2 + y^2, e para a de x/(4+x^2) fazemos v = 4 + x^2. Isso leva a:
integral y2 + y^2,dy = 12ln|2 + y^2| + C1,
integral x4 + x^2,dx = 12ln|4 + x^2| + C2

Passo 4

Igualando as duas primitivas e juntando as constantes em C, temos:
12ln|2 + y^2| = 12ln|4 + x^2| + C
Multiplicando por 2 e exponenciando obtemos a solução implícita geral:
ln2 + y^24 + x^2 = C' Longrightarrow 2 + y^24 + x^2 = K,
ou seja
2 + y^2 = C,(4 + x^2),

Passo 5

onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y^2 + 2 = C,(x^2 + 4),
com C constante arbitrária.

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