Use o teste da integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=2^infty 1nraiz[3]ln n usando o teste da integral. O conteúdo é o teste de convergência pelo integral test, e vamos precisar comparar a série com a integral imprópria associada à função f(x)=1x(ln x)^1/3.

Passo 2

Verificamos primeiro se f(x)=1x(ln x)^1/3 é positiva, contínua e decrescente para x>=2. Como ln x cresce com x, o denominador aumenta e f(x) decresce. Logo, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Montamos a integral imprópria associada:
integral2^infty 1x(ln x)^1/3,dx
Fazemos a substituição t=ln x, logo dt=dxx. Quando x=2, t=ln2; quando xtoinfty, ttoinfty. Assim a integral vira
integralln2^infty t^-1/3,dt

Passo 4

Calculamos
integralln2^infty t^-1/3,dt = [t^2/32/3]ln2^infty = 32limTtoinfty T^2/3 - 32(ln2)^2/3 = infty
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série sumn=2^infty 1nraiz[3]ln n também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da integral.

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