Verifique as seguintes igualdades para a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa:
;
Passo 1
Primeiro, o enunciado nos pede para verificar a propriedade de escala na transformada de Laplace inversa:
Temos uma função , cuja inversa de Laplace é
. Queremos mostrar que
Temos uma função
Para isso, vamos usar a definição de Bromwich da transformada inversa.
Passo 2
Começamos escrevendo a integral de Bromwich para
:
Aqui
é um valor real que fique à direita de todos os polos de
.
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
. Então temos
e
. Além disso, quando
percorre a reta vertical
,
percorre
, o que não altera o valor da integral de Bromwich se ajustarmos a constante de integração. Substituindo na integral:
Passo 4
Por definição, a integral
é exatamente
$$
\mathscr{L}^{-1}{Y(k,s)}=\frac1k,y\Bigl(\frac tk\Bigr).
$$