Verifique as seguintes igualdades para a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa:
;

Passo 1

Primeiro, o enunciado nos pede para verificar a propriedade de escala na transformada de Laplace inversa:
Temos uma função Y(s), cuja inversa de Laplace é y(t)=mathscrL^-1Y(s). Queremos mostrar que
mathscrL^-1Y(k,s)=1k,yl( tkr)
Para isso, vamos usar a definição de Bromwich da transformada inversa.

Passo 2

Começamos escrevendo a integral de Bromwich para mathscrL^-1Y(k,s):
mathscrL^-1Y(k,s)=12pi iintegralc-iinfty^c+iinftye^s,t,Y(k,s),ds
Aqui c é um valor real que fique à direita de todos os polos de Y(k,s).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=k,s. Então temos s=u/k e ds=du/k. Além disso, quando s percorre a reta vertical Re(s)=c, u percorre Re(u)=k,c, o que não altera o valor da integral de Bromwich se ajustarmos a constante de integração. Substituindo na integral:
mathscrL^-1Y(k,s)=12pi iintegral e^(u/k),t,Y(u)duk =1k12pi iintegral e^u,(t/k),Y(u),du

Passo 4

Por definição, a integral
12pi iintegralc'-iinfty^c'+iinftye^u,(t/k),Y(u),du
é exatamente y(t/k), isto é mathscrL^-1Y(u)(t/k). Portanto concluímos que
$$
\mathscr{L}^{-1}{Y(k,s)}=\frac1k,y\Bigl(\frac tk\Bigr).
$$

Resposta

1k,yl(tfractkr)

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