Calcule o comprimento das cruvas dadas em coordenadas polares
Passo 1
A questão pede para calcular o comprimento da curva em coordenadas polares r=2−2 cos θ ao longo de um ciclo completo (θ∈[0,2π]). O conteúdo aqui é comprimento de curva em polares, e vamos usar a fórmula
vindo de r(θ) e seu derivado.
Passo 2
Como r(θ)=2−2 cos θ, calculamos a derivada:
Passo 3
Substituímos r e dr/dθ na fórmula de comprimento:
Passo 4
Agora simplificamos o integrando:
(2−2 cos θ)² + (2 sin θ)² = 4−8 cos θ+4(cos²θ+sin²θ) = 8−8 cos θ = 8(1−cos θ).
Usando 1−cos θ=2 sin²(θ/2), temos 8(1−cos θ)=16 sin²(θ/2). Assim
(2−2 cos θ)² + (2 sin θ)² = 4−8 cos θ+4(cos²θ+sin²θ) = 8−8 cos θ = 8(1−cos θ).
Usando 1−cos θ=2 sin²(θ/2), temos 8(1−cos θ)=16 sin²(θ/2). Assim
No intervalo [0,2π], sin(θ/2)≥0, então o integrando é 4 sin(θ/2) e
Passo 5
Basta calcular a integral: como
temos
Resposta
16