Calcule o comprimento das cruvas dadas em coordenadas polares
r=2-2 cos theta

Passo 1

A questão pede para calcular o comprimento da curva em coordenadas polares r=2−2 cos θ ao longo de um ciclo completo (θ∈[0,2π]). O conteúdo aqui é comprimento de curva em polares, e vamos usar a fórmula
L = integralalpha^beta raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta
vindo de r(θ) e seu derivado.

Passo 2

Como r(θ)=2−2 cos θ, calculamos a derivada:
drdtheta = 2sintheta

Passo 3

Substituímos r e dr/dθ na fórmula de comprimento:
L = integral0^2pi raiz(2-2costheta)^2 + (2sintheta)^2,dtheta

Passo 4

Agora simplificamos o integrando:
(2−2 cos θ)² + (2 sin θ)² = 4−8 cos θ+4(cos²θ+sin²θ) = 8−8 cos θ = 8(1−cos θ).
Usando 1−cos θ=2 sin²(θ/2), temos 8(1−cos θ)=16 sin²(θ/2). Assim
raiz16sin^2(tfractheta2) = 4l|sin(tfractheta2)r|
No intervalo [0,2π], sin(θ/2)≥0, então o integrando é 4 sin(θ/2) e
L=integral0^2pi4sinl(tfractheta2r),dtheta

Passo 5

Basta calcular a integral: como
integralsinl(tfractheta2r)dtheta = -2cosl(tfractheta2r),
temos
L = 4l[-2cosl(tfractheta2r)r]0^2pi = -8l(cospi - cos0r) = -8(-1 - 1) = 16

Resposta

16

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