Verifique as seguintes igualdades para a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa:
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
para
. O conteúdo envolve a transformada inversa de Laplace e vamos usar duas propriedades-chave: deslocamento no domínio
e escala (mudança de variável) em
.
Passo 2
A propriedade de deslocamento no domínio
diz que, se
tem transformada
, então
$$\mathscr{L}{e^{-b t}f(t)}(s)=F(s+b).
$$
Invertendo, obtemos
Passo 3
A propriedade de escala em
(com
) afirma que
$$\mathscr{L}{f(at)}(s)=\frac{1}{a}F\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr)
$$
e, por inversão,
Passo 4
Defina
e denote
$$y(t)=\mathscr{L}^{-1}{Y(s)}.
$$
Pela propriedade de deslocamento temos
$$\mathscr{L}{-1}{U(s)}=\mathscr{L}{-1}{Y(s+b)}=e^{-b t}y(t).
$$
Chamando essa função de
, fica
.
Passo 5
Agora note que
$$Y(a s+b)=U(a s).
$$
Aplicando a propriedade de escala a
obtemos
Substituindo
chega-se à identidade desejada.