Verifique as seguintes igualdades para a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa:
a>0, se .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
mathscrL^-1Y(a s+b)=e^-b t/aa,mathscrL^-1Yl(tfractar),
para a>0. O conteúdo envolve a transformada inversa de Laplace e vamos usar duas propriedades-chave: deslocamento no domínio s e escala (mudança de variável) em s.

Passo 2

A propriedade de deslocamento no domínio s diz que, se f(t) tem transformada F(s), então
$$\mathscr{L}{e^{-b t}f(t)}(s)=F(s+b).
$$
Invertendo, obtemos
mathscrLe^-b tf(t)(s)=F(s+b)

Passo 3

A propriedade de escala em s (com a>0) afirma que
$$\mathscr{L}{f(at)}(s)=\frac{1}{a}F\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr)
$$
e, por inversão,
mathscrLf(at)(s)=1aFl(tfracsar)

Passo 4

Defina
U(s)=Y(s+b),
e denote
$$y(t)=\mathscr{L}^{-1}{Y(s)}.
$$
Pela propriedade de deslocamento temos
$$\mathscr{L}{-1}{U(s)}=\mathscr{L}{-1}{Y(s+b)}=e^{-b t}y(t).
$$
Chamando essa função de y(t)=mathscrL^-1Y(s) , fica mathscrL^-1U(s)=mathscrL^-1Y(s+b)=e^-b ty(t) .

Passo 5

Agora note que
$$Y(a s+b)=U(a s).
$$
Aplicando a propriedade de escala a Y(a s+b)=U(a s) obtemos
U(s)
Substituindo mathscrL^-1U(a s)=1aul(tfractar) = rac1ae^-b (t/a)yl(tfractar) chega-se à identidade desejada.

Resposta

mathscrL^-1Y(a s+b)=e^-b t/aa,mathscrL^-1Yl(tfractar)

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