Calcule o comprimento da curva
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por
no intervalo de
. Para isso, vamos usar uma fórmula de cálculo de comprimento de curvas que envolve derivadas. Não se preocupa, eu explico tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Essa integral vai nos dar o comprimento total da curva entre
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Dada a função
, vamos derivar:
Isso significa que a inclinação da curva em qualquer ponto
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos elevar essa derivada ao quadrado, conforme a fórmula:
Pronto, agora temos o valor de
.
Passo 5
Vamos substituir esse valor na fórmula do comprimento da curva:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, podemos somar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
. Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Calculando os valores:
Subtraindo:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O comprimento da curva
de
a
é aproximadamente 2,084 unidades.