Calcule o comprimento da curva y=x^3 / 2, com 1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por y = x^3/2 no intervalo de 1 <= x <= 2 . Para isso, vamos usar uma fórmula de cálculo de comprimento de curvas que envolve derivadas. Não se preocupa, eu explico tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva y = f(x) entre dois pontos a e b . A fórmula é:
C = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Essa integral vai nos dar o comprimento total da curva entre x = a e x = b .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Dada a função y = x^3/2 , vamos derivar:
dydx = 32 x^1/2
Isso significa que a inclinação da curva em qualquer ponto x é 32 raizx .

Passo 4

Em seguida, vamos elevar essa derivada ao quadrado, conforme a fórmula:
( dydx )^2 = ( 32 x^1/2 )^2 = 94 x
Pronto, agora temos o valor de ( dydx )^2 .

Passo 5

Vamos substituir esse valor na fórmula do comprimento da curva:
C = integral1^2 raiz1 + 94 x , dx
Para simplificar a expressão dentro da raiz, podemos somar os termos:
1 + 94 x = 44 + 94 x = 4 + 9x4
Então, a integral fica:
C = integral1^2 raiz4 + 9x4 , dx = integral1^2 raiz4 + 9x2 , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
C = 12 integral1^2 raiz4 + 9x , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja u = 4 + 9x , então du = 9 dx ou dx = du9 . Alterando os limites de integração:
  • Quando x = 1 , u = 4 + 9(1) = 13
  • Quando x = 2 , u = 4 + 9(2) = 22
Substituindo na integral:
C = 12 cdot 19 integral13^22 raizu , du = 118 integral13^22 u^1/2 , du
Integrando:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Então:
C = 118 cdot 23 [ u^3/2 ]13^22 = 127 ( 22^3/2 - 13^3/2 )
Calculando os valores:
22^3/2 = 22 raiz22 approx 22 times 4.6904 approx 103.1888
13^3/2 = 13 raiz13 approx 13 times 3.6056 approx 46.8728
Subtraindo:
103.1888 - 46.8728 = 56.316
Multiplicando pelo 127 :
C approx 56.31627 approx 2.084

Resposta

O comprimento da curva y = x^3/2 de x = 1 a x = 2 é aproximadamente 2,084 unidades.

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