Calcule o comprimento da curva
y=raiz1-x^2, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva y=raiz1-x^2 para 0<= x<=1. Este é um problema de comprimento de arco para funções y=f(x). Vamos usar a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y' = ddxraiz1-x^2 = 12raiz1-x^2cdot(-2x) = -xraiz1-x^2

Passo 3

Agora avaliamos
1 + (y')^2 = 1 + x^21-x^2 = 1-x^2 + x^21-x^2 = 11-x^2,
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raiz1 + (y')^2 = 1raiz1-x^2

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos
L = integral0^1 1raiz1-x^2,dx

Passo 5

Reconhecemos que
ddxl(arcsin(x)r) = 1raiz1-x^2,
portanto
L = l[arcsin(x)r]0^1 = arcsin(1) - arcsin(0) = pi2

Resposta

O comprimento da curva é pi2.

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