Calcule o volume do conjunto dado. Faça o esboço do conjunto.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um conjunto definido por algumas desigualdades e também fazer um esboço desse conjunto. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo multivariável, mais especificamente integração dupla para encontrar volumes. Para resolver, vamos precisar entender como as restrições dadas definem a região no espaço e como montar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as desigualdades que definem o conjunto:
Aqui,
está entre duas expressões que dependem de
e
, e
e
são não negativos. Isso significa que o conjunto está limitado por duas superfícies planas no espaço tridimensional e está restrito ao primeiro quadrante (onde
e
são positivos).
Passo 3
Para visualizar isso, vamos imaginar duas superfícies planas:
-
(uma superfície inclinada para cima) -
(outra superfície inclinada, mas com inclinação diferente)
O volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies, sobre a região onde
e
.
Passo 4
Agora, para encontrar essa região no plano
, vamos igualar as duas expressões de
para ver onde as superfícies se interceptam:
Resolvendo essa equação:
Então, a interseção das duas superfícies acontece quando
. Essa é uma linha reta no plano
que vai de
a
.
Passo 5
Com isso, a região de integração no plano
é um triângulo com vértices em
,
e
. Essa é a área onde vamos calcular o volume entre as duas superfícies.
Passo 6
Para calcular o volume, vamos montar uma integral dupla que integra a diferença entre as duas funções
:
Aqui,
e
. Então:
Passo 7
Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região é um triângulo com
de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do conjunto é
unidades cúbicas.