Calcule o volume do conjunto dado. Faça o esboço do conjunto.
4 x+2 y <= z <= 3 x+y+1, x >= 0 e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um conjunto definido por algumas desigualdades e também fazer um esboço desse conjunto. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo multivariável, mais especificamente integração dupla para encontrar volumes. Para resolver, vamos precisar entender como as restrições dadas definem a região no espaço e como montar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as desigualdades que definem o conjunto:
4x + 2y <= z <= 3x + y + 1, x >= 0, y >= 0
Aqui, z está entre duas expressões que dependem de x e y , e x e y são não negativos. Isso significa que o conjunto está limitado por duas superfícies planas no espaço tridimensional e está restrito ao primeiro quadrante (onde x e y são positivos).

Passo 3

Para visualizar isso, vamos imaginar duas superfícies planas:
  1. z = 4x + 2y (uma superfície inclinada para cima)
  2. z = 3x + y + 1 (outra superfície inclinada, mas com inclinação diferente)
O volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies, sobre a região onde x >= 0 e y >= 0 .

Passo 4

Agora, para encontrar essa região no plano xy , vamos igualar as duas expressões de z para ver onde as superfícies se interceptam:
4x + 2y = 3x + y + 1
Resolvendo essa equação:
4x + 2y - 3x - y = 1 Rightarrow x + y = 1
Então, a interseção das duas superfícies acontece quando x + y = 1 . Essa é uma linha reta no plano xy que vai de (1,0) a (0,1) .

Passo 5

Com isso, a região de integração no plano xy é um triângulo com vértices em (0,0) , (1,0) e (0,1) . Essa é a área onde vamos calcular o volume entre as duas superfícies.

Passo 6

Para calcular o volume, vamos montar uma integral dupla que integra a diferença entre as duas funções z :
Volume = integral duplaRegião ( zsup - zinf ) , dx , dy ã
Aqui, zsup = 3x + y + 1 e zinf = 4x + 2y . Então:
Volume = integral duplaRegião ( (3x + y + 1) - (4x + 2y) ) , dx , dy = integral duplaRegião (-x - y + 1) , dx , dy ãã

Passo 7

Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região é um triângulo com x de 0 a 1 e, para cada x , y vai de 0 até 1 - x :
Volume = integralx=0^1 integraly=0^1 - x (-x - y + 1) , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a y :
integral0^1 - x (-x - y + 1) , dy = [ -x y - y^22 + y ]0^1 - x
Substituindo os limites:
= ( -x(1 - x) - (1 - x)^22 + (1 - x) ) - (0) = -x + x^2 - 1 - 2x + x^22 + 1 - x
Simplificando:
= -x + x^2 - 12 + x - x^22 + 1 - x = x^22 + 12

Passo 9

Agora, vamos integrar isso em relação a x :
Volume = integral0^1 ( x^22 + 12 ) dx = [ x^36 + x2 ]0^1
Substituindo os limites:
= ( 16 + 12 ) - 0 = 16 + 36 = 46 = 23

Resposta

O volume do conjunto é 23 unidades cúbicas.

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