EXERCÍCIOS
Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
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Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
usando a fórmula integral de Cauchy. A matéria que vamos usar aqui é a Fórmula Integral de Cauchy, que é super útil para resolver integrais de funções complexas em trajetórias fechadas. Vamos precisar identificar se o ponto singular
está dentro do contorno
para aplicar a fórmula corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso descreve um círculo no plano complexo com centro em
e raio 2. Agora, precisamos verificar se o ponto
está dentro desse círculo.
Passo 3
Para descobrir se
está dentro de
, calculamos a distância entre
(centro do círculo) e
:
Como
, o ponto
está dentro do círculo.
Passo 4
Agora que sabemos que
está dentro do contorno, podemos aplicar a Fórmula Integral de Cauchy. A fórmula diz que para uma função
analítica dentro e sobre o contorno
, temos:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, substituímos
por
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral vale
.