EXERCÍCIOS
Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z-1|=2 e^i z d zz+i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral oint|z-1|=2 e^i z , dzz+i usando a fórmula integral de Cauchy. A matéria que vamos usar aqui é a Fórmula Integral de Cauchy, que é super útil para resolver integrais de funções complexas em trajetórias fechadas. Vamos precisar identificar se o ponto singular z = -i está dentro do contorno |z - 1| = 2 para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |z - 1| = 2. Isso descreve um círculo no plano complexo com centro em z = 1 e raio 2. Agora, precisamos verificar se o ponto z = -i está dentro desse círculo.

Passo 3

Para descobrir se z = -i está dentro de |z - 1| = 2, calculamos a distância entre z = 1 (centro do círculo) e z = -i:
|1 - (-i)| = |1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414
Como 1,414 < 2, o ponto z = -i está dentro do círculo.

Passo 4

Agora que sabemos que z = -i está dentro do contorno, podemos aplicar a Fórmula Integral de Cauchy. A fórmula diz que para uma função f(z) analítica dentro e sobre o contorno C, temos:
ointC f(z)z - a , dz = 2pi i , f(a)
No nosso caso, f(z) = e^i z e a = -i.

Passo 5

Aplicando a fórmula, substituímos f(a) por f(-i):
f(-i) = e^i (-i) = e^1 = e
Então, a integral fica:
oint|z-1|=2 e^i zz + i , dz = 2pi i cdot e

Resposta

A integral vale 2,pi,i,e.

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