Considere a curva definida pela função
para
.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
no mesmo intervalo.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a curva definida por
no intervalo de
de 0 a 1 é rotacionada em torno do eixo
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo relacionados à rotação de curvas e integração para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar uma curva em torno do eixo
. Imagine que você tem a curva
desenhada num gráfico. Quando você gira essa curva ao redor do eixo
, ela forma uma superfície tridimensional, como uma espécie de paraboloide.
Passo 3
Para encontrar a área dessa superfície, usamos uma fórmula específica do cálculo. A fórmula para a área da superfície
gerada pela rotação de uma curva
em torno do eixo
é:
Aqui,
e
são os limites do intervalo de
que estamos considerando.
Passo 4
No nosso caso,
, e os limites são de
até
. Vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Mas, já que
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo novamente na integral:
Passo 7
Resolver essa integral pode ser um pouco complexo, mas sabemos que, após resolver, o resultado nos dará a área da superfície gerada. No entanto, para simplificar, podemos usar métodos de integração ou tabelas de integrais que nos levam ao resultado final.
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
no intervalo de
é
avaliada de 0 a 1, resultando em: