EXERCÍCIOS
Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z|=1 i z d z1-2 z d z.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
oint|z|=1i,z1-2z,dz
percorrendo o círculo |z|=1 no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é análise complexa, mais especificamente aplicar o teorema dos resíduos (fórmula integral de Cauchy para polos simples), pois a função possui um polo simples dentro do contorno.

Passo 2

Determinamos as singularidades de i,z1-2z. O denominador se anula em
1-2z=0Longrightarrow z=tfrac12
Como l|tfrac12r|<1, esse polo simples está dentro do contorno |z|=1.

Passo 3

Para um polo simples em , o resíduo é
Como , temos
logo, em ,

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos,
oint|z|=1i,z1-2z,dz =2pi i;l(-tfraci4r) =2pi;i(-i)4 =2pi;14 =pi2

Resposta

pi2

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