Calcule o comprimento da curva y=log (e^x+1e^x-1), a <= x <= b.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y = ln!gl(e^x+1e^x-1gr), a <= x <= b,
que está bem definida somente para e^x>1, isto é, x>0. O método que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco de uma curva dada por y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Vamos calcular a derivada
y' = ddxln!gl(e^x+1e^x-1gr)
Usando a regra do quociente no logaritmo:
y' = (e^x)(e^x - 1) - (e^x+1)(e^x)(e^x+1)(e^x-1) = -,2e^xe^2x-1 = -,1sinh(x)

Passo 3

Agora montamos o integrando
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz1 + 1sinh^2(x) = raizsinh^2(x) + 1sinh^2(x) = cosh(x)sinh(x) = coth(x)

Passo 4

Portanto o comprimento é
L = integrala^b coth(x),dx
E como
integral coth(x),dx = lnl|sinh(x)r| + C,
ficamos com
L = l[lnl(sinh(x)r)r]a^b = ln!l(sinh(b)r) - ln!l(sinh(a)r)

Resposta

L = ln!gl(sinh(b)sinh(a)gr)

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