Seja
definida por
.
Mostre que
f é diferenciável no ponto
(0,0). justifique.
Dica: Calcule as derivadas parciais de
f em todos os pontos do plano. Na origem não dá pra usar as regras de diferenciação e tem que fazer na forma de limite mesmo. Por ex,
partial fpartial x(0,0)=lim x 0 f(x, 0)-f(0,0)x-0=lim x 0 x^2 sin (1 / x^2)x=0 (por que?)
Uma vez visto que as derivadas parciais são nulas na origem, daí escrevendo
f(0+hx, 0+hy)=f(0,0)+partial fpartial x(0,0) hx+partial fpartial y(0,0) hy+R(hx, hy),
ou seja,
R(hx, hy)=f(hx, hy), pode-se mostrar diretamente que
lim (hx, hy) (0,0) R(hx, hy)raizhx^2+hy^2=0, ou seja, mostrar que
f é diferenciável usando a definição.
Uma alternativa seria comparar os valores da derivadas parciais fora da arigem e na origem e concluir que as derivadas parciais são contínuas na origem.