Calcule a integral de superficie integralegral dupla5 f dS, onde a superficie S que está parametrizada por sigma(u, v)=(u v, u+v, u-v), u^2+v^2 <= 1 e a função escalar é f(x, y, z)=y

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo de integral de superfície. A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS f , dS , onde a superfície S é parametrizada por sigma(u, v) = (uv, u + v, u - v) com u^2 + v^2 <= 1 . A função que vamos integrar é f(x, y, z) = y . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies e como calcular integrais de superfície usando mudanças de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície sigma(u, v) = (uv, u + v, u - v) . Isso significa que cada ponto na superfície S pode ser descrito por valores de u e v que satisfazem u^2 + v^2 <= 1 . Essa condição define um disco no plano uv , já que a soma dos quadrados de u e v é menor ou igual a 1.

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos achar o elemento de área dS . Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v :
sigmau = partial sigmapartial u = ( v, 1, 1 )
sigmav = partial sigmapartial v = ( u, 1, -1 )

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial sigmau times sigmav para encontrar um vetor normal à superfície:
sigmau times sigmav = i & j & k v & 1 & 1 u & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(v cdot (-1) - 1 cdot u) + k(v cdot 1 - 1 cdot u)
= i(-1 - 1) - j(-v - u) + k(v - u)
= -2i + (v + u)j + (v - u)k
A magnitude desse vetor é:
|sigmau times sigmav| = raiz(-2)^2 + (v + u)^2 + (v - u)^2 = raiz4 + (v + u)^2 + (v - u)^2
= raiz4 + (v^2 + 2uv + u^2) + (v^2 - 2uv + u^2) = raiz4 + 2v^2 + 2u^2 = raiz4 + 2(u^2 + v^2)

Passo 5

Sabemos que u^2 + v^2 <= 1 , então:
|sigmau times sigmav| = raiz4 + 2(u^2 + v^2) <= raiz4 + 2 cdot 1 = raiz6
Mas para a integral, mantemos a expressão geral:
|sigmau times sigmav| = raiz4 + 2(u^2 + v^2)

Passo 6

Agora, a função f(x, y, z) = y na parametrização fica:
f(sigma(u, v)) = y = u + v
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS f , dS = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) raiz4 + 2(u^2 + v^2) , du , dv

Resposta

Após calcular e integrar, a integral de superfície integral duplaS f , dS resulta em:
integral duplaS f , dS = 0
Isso ocorre porque a função f = y = u + v é simétrica em relação ao domínio u^2 + v^2 <= 1 , fazendo com que as contribuições positivas e negativas se anulem.

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