Calcule a integral de superficie , onde a superficie S que está parametrizada por e a função escalar é
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de cálculo de integral de superfície. A gente precisa calcular a integral de superfície , onde a superfície é parametrizada por com . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies e como calcular integrais de superfície usando mudanças de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície . Isso significa que cada ponto na superfície pode ser descrito por valores de e que satisfazem . Essa condição define um disco no plano , já que a soma dos quadrados de e é menor ou igual a 1.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos achar o elemento de área . Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o produto vetorial para encontrar um vetor normal à superfície:
= i(-1 - 1) - j(-v - u) + k(v - u)
= -2i + (v + u)j + (v - u)k
A magnitude desse vetor é:
|sigmau times sigmav| = raiz(-2)^2 + (v + u)^2 + (v - u)^2 = raiz4 + (v + u)^2 + (v - u)^2
Agora, a função f(x, y, z) = y na parametrização fica:
f(sigma(u, v)) = y = u + v
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS f , dS = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) raiz4 + 2(u^2 + v^2) , du , dv
Resposta
Após calcular e integrar, a integral de superfície integral duplaS f , dS resulta em:
integral duplaS f , dS = 0
Isso ocorre porque a função f = y = u + v é simétrica em relação ao domínio u^2 + v^2 <= 1 , fazendo com que as contribuições positivas e negativas se anulem.