Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(tsen(t), t cos (t), t) para t in[0, raiz2].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva gammacolon[0,raiz2]toR^3 dada por
gamma(t) = l(tsen(t),,tcos(t),,tr)
O conteúdo é cálculo de comprimento de curva em R^3, usando a fórmula
L = integrala^b |gamma'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t) =l(sen(t)+tcos(t),;cos(t)-tsen(t),;1r)

Passo 3

Agora encontramos a norma ao quadrado:
|gamma'(t)|^2 =l[sen(t)+tcos(t)r]^2 +l[cos(t)-tsen(t)r]^2 +1^2
Expandindo e somando:
sen^2(t)+2tsen(t)cos(t)+t^2cos^2(t) +cos^2(t)-2tsen(t)cos(t)+t^2sen^2(t) +1 =1 + t^2 +1 = t^2+2
Logo
|gamma'(t)| = raizt^2+2

Passo 4

O comprimento é
L = integral0^raiz2 raizt^2+2,dt

Passo 5

Usamos a fórmula padrão
integral raizt^2+a^2,dt =t2raizt^2+a^2 +a^22lnl|t+raizt^2+a^2r| +C
Aqui a^2=2, então
integral raizt^2+2,dt =t2raizt^2+2 +lnl(t+raizt^2+2r)+C
Avaliaremos de 0 a raiz2.

Passo 6

Em t=raiz2:
raiz22raiz2+2 +lnl(raiz2+raiz2+2r) =raiz22cdot2 +lnl(raiz2+2r) =raiz2+ln(,2+raiz2,)
Em t=0:
0+lnl(0+raiz2r) =ln(raiz2) =tfrac12ln2
Subtraindo,
L =l[raiz2+ln(2+raiz2)r] -tfrac12ln2 =raiz2+ln!l(tfrac2+raiz2raiz2r) =raiz2+ln(1+raiz2)

Resposta

L = raiz2 + lnl(1+raiz2r)

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